تقویت محور مرکزی سازه های لوله ای و کاربرد آن در استخراج محور مرکزی ورید پورتال
محورهای موضوعی : عمومىامیرحسین فروزان 1 * , رضا آقایی زاده ظروفی 2 , یوشی¬نبو ساتو 3 , ماساتوشی هوری 4
1 - دانشگاه شاهد
2 - دانشگاه تهران
3 - دانشگاه شاهد
4 - دانشگاه شاهد
کلید واژه: استخراج ساختارهای لوله¬ای, استخراج محور مرکزی سیاهرگ پورتال, آنالیز تصاویر سی¬تی¬اسکن کبد, پردازش تصاویر پزشکی,
چکیده مقاله :
در این مقاله با ارائه توصیف جدیدی از ویژگی نقاط محور مرکزی ساختارهای لوله ای، روشی برای تقویت این ساختارها پیشنهاد شده است. در این روش، در یک چارچوب چندمقیاسی و با استفاده از بردارهای ویژه ماتریس هسین نقاط تصویر، فاصله هر نقطه را از لبه های تصویر به دست می-آوریم. برای نقاطی که روی محور مرکزی قرار دارند این فاصله از دوسر هر راستای دلخواه متقارن است. در این مرحله با نمونه برداری فاصله هر نقطه از لبه های تصویر در راستاهای مختلف، به نقاطی که تقارن بیشتری دارند مقدار بیشتری نسبت می دهیم. در مرحله بعد برای تقویت محور مرکزی لوله ها، از یک فیلتر براساس روش Pock استفاده می کنیم. ارزیابی روش پیشنهادی با استفاده از تصاویر فانتوم دوبعدی و سه بعدی و داده-های پزشکی به صورت کیفی و کمی با معیارهای حداکثر خطای تعیین محور مرکزی و نرخ آشکارسازی انجام گرفته است که مزیت این روش را به روش های موجود نشان می دهد
In this article, by presenting a new description of the characteristic of the central axis points of tubular structures, a method to strengthen these structures is proposed. In this method, in a multi-scale framework and using special vectors of the Hessian matrix of the image points, we obtain the distance of each point from the edges of the image. For the points located on the central axis, this distance from the bisector of any arbitrary direction is symmetrical. In this step, by sampling the distance of each point from the edges of the image in different directions, we assign a greater value to the points that have more symmetry. In the next step, we use a filter based on the Pock method to strengthen the central axis of the tubes. The evaluation of the proposed method has been done using two-dimensional and three-dimensional phantom images and medical data qualitatively and quantitatively with the criteria of maximum error in determining the central axis and detection rate, which shows the advantage of this method over the existing methods.
[1]. E. N. Marieb, Human Anatomy and Physiology. The Benjamin/Cummings Publishing Company, 1992, pp. 796-797.
[2]. A. M. R. Agur, Atlas of Anatomy. Canada: Williams and Wilkins, 1991, p.79.
[3]. J. H. D. Fasel et al., “Segmental Anatomy of the Liver: Poor Correlation with CT,” Radiology, vol. 206, no. 1, pp. 151-156, 1998.
[4]. D. Lesage et al., “A Review of 3D Vessel Lumen Segmentation Techniques: Models, Features and Extraction Schemes,” Medical Image Analysis, vol. 13, no. 6, pp. 819–845, 2009.
[5]. C. Kirbas and F. Quek, “A Review of Vessel Extraction Techniques and Algorithms,” ACM Computing Surveys, vol. 36, no. 2, pp. 81–121, 2004.
[6]. A.F. Frangi et al., “Multiscale vessel enhancement filtering,” In Proc. 1st MICCAI, 1998, pp. 130-137.
[7]. T. Pock et al., “Multiscale Medialness for Robust Segmentation of 3D Tubular Structures,” 10th computer vision winter workshop, 2005, pp. 93-102.
[8]. S. Wörz and K. Rohr, “Segmentation and Quantification of Human Vessels Using a 3-D Cylindrical Intensity Model,” IEEE Trans. on Image Processing, vol. 16, no.8, pp. 1994-2004, 2007.
[9]. G. Agam, S.G. Armato III, and C. Wu, “Vessel-tree reconstruction in thoracic CT scans with application to nodule detection,” IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 24, no. 4, 2005.
[10]. V. Mahadevan, H. Narasimha-Iyer, B. Roysam, H.L. Tanenbaum, “Robust model-based vasculature detection in noisy biomedical images. IEEE Trans. Inf. Technol. Biomed., vol. 8, no. 3, pp. 360–375, 2004.
[10]. J. Lee, P. Beighley, E. Ritman, N. Smith, “Automatic segmentation of 3D micro-CT coronary vascular images,” Med. Imag. Anal., vol. 11, no. 6, pp. 630–647, 2007.
[11]. X. Qian, M.P. Brennan, D.P. Dione, et al., “A non-parametric vessel detection method for complex vascular structures,” Med. Imag. Anal., vol. 13, issue 1, pp. 49-61, 2009.
[12]. K. Krissian, G. Malandain, N. Ayache, R. Vaillant and Y. Trousset, “Model-based multiscale detection of 3D vessels,” in Proc. CVPR '98, 1998, pp. 722-727.
[13]. C. Lorenz, I-C. Carlsen, T. M. Buzug, C. Fassnacht and J. Weese, “Multi-scale line segmentation with automatic estimation of width, contrast and tangential direction in 2D and 3D medical images,” in Proc.First Joint Conference on CVRMed and MRCAS, Lecture Notes in Computer Science 1205, Springer-Verlag, Berlin, 1997, pp. 233–242.
[14]. T. M. Koller, G. Gerig, G. Szekely and D. Dettwiler, “Multiscale detection of curvilinear structures in 2D and 3D image data,” in Proc. 5th Int. Conf. Computer Vission, Boston, MA, 1995, pp. 864-869.
[15]. Y. Sato, S. Nakajima, N. Shiraga, H. Atsumi, S. Yoshida, T. Koller, G. Gerig and R. Kikinis, “Three-dimensional multi-scale line filter for segmentation and visualization of curvilinear structures in medical images,” Med. Imag. Anal., vol. 2, no. 2, pp. 143-168, 1998.
[16]. P.T.H. Truc, Md.A.U. Khan, Young-Koo Lee, Sungyoung Lee and Tae-Seong Kim, “Vessel enhancement filter using directional filter bank,” Comput. Vision and Imag. Understanding, vol. 113, no.1, pp.101-112, 2009.
[17]. R. Manniesing, M. A. Viergever and W. Niessen, “Vessel enhancing diffusion: A scale space representation of vessel structures,” Med. Imag. Anal., vol. 10, no. 6, pp. 815-825, 2006.
[18]. C. Bauer and H. Bischof, “A novel approach for detection of tubular objects and its application to medical image analysis,” in Proc. of DAGM., 2008, pp. 163–172.
[19]. K. Krissian, G. Malandain, N. Ayache, R. Vaillant and Y. Trousset, “Model-based detection of tubular structures in 3D images,” Computer Vision and Image Understanding, vol. 80, no, 2, pp. 130–171, 2000.
[20]. K. Krissian and G. Farneback, “Building reliable clients and servers,” in Medical Imaging Systems Technology: Methods in Cardiovascular and Brain Systems, World Scientific Publishing Co., Singapore, 2005.
فصلنامه علمي- پژوهشي فناوري اطلاعات و ارتباطات ایران | سال چهارم، شماره‌هاي 13 و 14، پاییز و زمستان 1391 صص: 57- 66 |
|
تقویت محور مرکزی ساختارهای لولهای و کاربرد آن در استخراج محور مرکزی سیاهرگ پورتال
امیرحسین فروزان*1 رضا آقاییزاده ظروفی** یوشینبو ساتو*** ماساتوشی هوری***
* استادیار، دانشکده مهندسی پزشکی ،دانشگاه شاهد، تهران
** استاد، دانشکده مهندسی برق و کامپيوتر، دانشگاه تهران، تهران
*** دانشیار، دانشکده پزشکی و رادیولوژی، دانشگاه اساکا ، ژاپن
تاريخ دريافت: 15/03/1391 تاريخ پذيرش: 15/10/1391
چکيده
در این مقاله با ارائه توصیف جدیدی از ویژگی نقاط محور مرکزی ساختارهای لولهای، روشی برای تقویت این ساختارها پیشنهاد شدهاست. در این روش، در یک چارچوب چندمقیاسی و با استفاده از بردارهای ویژه ماتریس هسین نقاط تصویر، فاصله هر نقطه را از لبههای تصویر بهدست می-آوریم. برای نقاطی که روی محور مرکزی قرار دارند این فاصله از دوسر هر راستای دلخواه متقارن است. در این مرحله با نمونهبرداری فاصله هر نقطه از لبههای تصویر در راستاهای مختلف، به نقاطی که تقارن بیشتری دارند مقدار بیشتری نسبت میدهیم. در مرحله بعد برای تقویت محور مرکزی لولهها، از یک فیلتر براساس روش Pock استفاده میکنیم. ارزیابی روش پیشنهادی با استفاده از تصاویر فانتوم دوبعدی و سهبعدی و داده-های پزشکی به صورت کیفی و کمی با معیارهای حداکثر خطای تعیین محور مرکزی و نرخ آشکارسازی انجام گرفته است که مزیت این روش را به روشهای موجود نشان میدهد.
كليد واژگان: استخراج ساختارهای لولهای، استخراج محور مرکزی سیاهرگ پورتال، آنالیز تصاویر سیتیاسکن کبد، پردازش تصاویر پزشکی
1. مقدمه
کبد بزرگترین غده بدن و بخشی از دستگاه گوارش است که ذخیرهسازی خون و فیلتر کردن آن، فعالیتهای متابولیکی، عملکرد ترشحی و دفع فضولات را بهعهده دارد. در کبد چهار ساختار آوندی وجود دارند که عبارتند از: سرخرگ هپاتیک، سیاهرگ هپاتیک، سیاهرگ پورتال و آوندهای صفراوی. بيماريهای مربوط به کبد از جمله سرطان کبد يکی از عوامل اصلی مرگ و مير در جهان است. برداشتن تومورهای سرطانی، از متداولترین روشهای درمانی بهشمار میرود که قبل از انجام جراحی، لازم است پزشک از موقعیت تقریبی تومورها در کبد و فاصله آنها نسبت به شاخههای اصلی ساختارهای آوندی آگاه باشد تا عمل جراحی با کمترین آسیب به ساختارهای آوندی انجام شود [1]. استفاده از روشهای تصویربرداری بهعنوان یک روش غیرتهاجمی در تشخیص بیماریهای کبد، طراحی روش درمان، ارزیابی تاثیر روش درمانی و آموزش اهمیت بسیاری دارد. استفاده از اسکنرهای سیتی برای تصویربرداری کبد در مقایسه با سایر مدولیتهها متداولتر است [2]. این دادهها شامل صدها اسلایس میباشد که استخراج ساختارهای آوندی از آنها بهروش دستی و توسط پزشک متخصص عملاً امکانپذیر نیست. بنابراین طراحی روشی برای استخراج آوندهای کبدی، انجام آنالیزهای کمی و نمایش سهبعدی نتایج تأثیر اساسی در زمینه روشهای درمانی کبد خواهد داشت [3].
در این مقاله با ارائه توصیف جدیدی از ویژگی نقاط محور مرکزی لولهها، روشي جهت تقویت ساختارهای لولهای پیشنهاد شدهاست و کاربرد آن در بخشبندی سیاهرگ پورتال مورد بررسی قرار گرفته است. در بخش دوم مروري بر روشهاي متداول در تقویت محور مرکزی ارائه شدهاست. بخش سوم به توضیح روش پیشنهادي اختصاص یافته است. در بخش چهارم نتایج مربوط به پیادهسازي روش پیشنهادي با استفاده از تصاویر فانتوم دوبعدی و سهبعدی و دادههای پزشکی و ارزیابی آن ارائه شدهاست و بخش پنجم به ارزیابی نتایج میپردازد. بخش ششم به جمعبندي مقاله و معرفي كارهاي آینده در این تحقیق اختصاص یافته است.
2. مروری بر روشهای تقویت محور مرکزی ساختارهای لولهای
در مراجع [4] و [5] مروری بر تحقیقات قبلی در زمینه آنالیز ساختارهای لولهای ارائه شدهاست. این تحقیقات با هدف تقویت ساختارهای لولهای و محور مرکزی آنها، استخراج محور مرکزی و بخشبندی ساختارهای لولهای انجام شدهاست. یکی از نکاتی که در طراحی الگوریتمها مورد توجه محققین قرار گرفته است استفاده از تحلیل چند مقیاسی(Multiscale) ساختارها با استفاده از ماتریس هسین واکسلهای تصویر میباشد [6 و 7][13-16]. اگر 
ماتریس سهبعدی تصویر و 
تصویر هموار شده با هسته گوسی 
باشد، مقادیر ويژه ماتريس هسين واکسلهای تصویر، اطلاعاتی درباره ساختارهای موجود در تصوير (ساختارهای حبابی، لولهای، و صفحهای) ارائه میدهند (جدول 1) و بردارهای ويژه راستاهايی را نشان میدهند که ساختار مرتبه دوم تصوير روی آنها قابل تجزيه است [6]. ماتریس هسین هموار شده تصویر سهبعدی در نقطه 
توسط معادله (1) تعریف میشود.
(1) 
جدول 1 - مقادير ويژه متناظر با ساختارهای مختلف در يک تصوير سهبعدی (با فرض
) [6].
|
|
| Corresponding pattern | case |
Noisy | Noisy | Noisy | Noisy, no preferred direction | 1 |
Low | Low | High negative | Bright plate structure | 2 |
Low | Low | High positive | Dark plate structure | 3 |
Low | High negative | High negative | Bright tubular structure | 4 |
Low | High positive | High positive | Dark tubular structure | 5 |
High negative | High negative | High negative | Bright Blob structure | 6 |
High positive | High positive | High positive | Dark blob structure | 7 |
طبق جدول 1، اگر قدرمطلق مقادیر ويژه ماتریس 
(
) بهصورت صعودی مرتب شدهباشند () و بخواهيم یک ساختار لولهای روشن را که در زمینه تاریک قرار دارد شناسايی کنيم، بايد بدنبال واکسلهايی باشيم که در آن 
تقريباً برابر صفر است و 
و 
دارای مقادير بزرگ و منفی هستند. اين ويژگیها در مرکز لوله کاملاً برقرار میباشند و برای واکسلهايی که از مرکز لوله دورتر هستند، اين شرايط تغییر میکند. روشهای مبتنی بر ماتریس هسین از نظر محاسباتی کارآمد هستند ولی بدلیل درنظر گرفتن اطلاعاتی محلی، به نویز حساس میباشند [8].
فرانجی و همکاران با استفاده از مقادیر ويژه، فيلتری را برای تقویت ساختارهای لولهای معرفی کردهاند که دارای سه مولفه برای تشخیص ساختارهای خطی از ساختارهای حبابی و صفحهای و حذف نویز است (معادله (2)و (3)). در معادله (2) باید شرط 
برقرار باشد و يک تخمين خوب برای 
، برابر نصف حداکثر مقدار اندازه هسين تصوير است [6].
(2) 
(3) 
آگام (Agam) و همکاران فیلتری برای تقویت ساختارهای لولهای براساس مقادیر ویژه ماتریس کوریلیشن بردارهای گرادیان طراحی کردند [9]. چون فیلتر طراحی شده برمبنای مشتقات مرتبه اول میباشد، نسبت به فیلترهایی که براساس مشتقات مرتبه دوم هستند حساسیت کمتری به نویز دارد. در این روش پس از یافتن نقاط کاندید رگ براساس مقادیر ویژه و خطوط watershed، پنجرهای با ابعاد 3×3×3 درنظر گرفته میشود که ابعاد این پنجره شروع به افزایش نموده و تا وقتی نسبت تعداد نقاط کاندید به ابعاد پنجره از اندازه یک مقدار آستانه کمتر نشده باشد، ابعاد پنجره افزایش مییابد. در این روش راستای رگ، برداری انتخاب میشود که بر تمام بردارهای گرادیان در آن نقطه عمود باشد.
تراک (Truc) و همکاران از بانک فیلترهای جهتدار برای تقویت ساختارهای لولهای استفاده کردهاند [17]. هریک از فیلترهای طراحی شده روی تصویر اعمال میشود و خروجی نهایی ماکزیمم خروجی فیلترها میباشد. روش پیشنهادی تراک (Truc) و همکاران روی تصاویر دوبعدی آنژیوگرافی و تصاویر شبکیه چشم آزمایش شده است [17].
چیان (Qian) و همکاران از پروفایل شدتروشنایی در مختصات قطبی استفاده کرده تا ویژگی انواع ساختارهای آوندی از جمله نقاط انشعاب را بهدست آورند [12]. پروفایل تغییرات شدتروشنایی در مختصات قطبی نشان میدهد که در نقاط محور مرکزی، دو ناحیه باند باريک (در راستای طولی رگ) وجود دارد. شدتروشنایی در راستای طولی رگ کمترین مقدار تغییرات و در صفحه عمود بر محور رگ بیشترین تغییرات را دارد. نواحی باند باریک دارای شدتروشنایی زیاد و تغییرات اندک هستند درحالیکه نواحی باند پهن دارای تغییرات شدتروشنایی زیاد و متوسط شدتروشنایی کم هستند. بنابراین در مورد تعلق یک نقطه به ساختار رگ براساس پروفایل تغییرات شدتروشنایی همسایگی محلی آن نقطه تصمیمگیری میشود. محققین با ترسیم پروفایل برای یک داده مصنوعی که دارای انواع ساختارهای لولهای، انشعابات و ساختارهای غیررگی است، نتیجه گرفتهاند که اگر یک نقطه به رگ تعلق داشته باشد، در پروفایل آن، ناحیه باند باریکی یافت میشود که تغییرات شدتروشنایی در آن ناحیه کم و متوسط شدتروشنایی نسبت به نقاط مجاور بیشتر خواهد بود. نقاط متعلق به رگ شامل نقاط روی محور مرکزی، نقاط اطراف محور مرکزی، نقاط واقع در انشعابات، نقاط انتهایی رگها، رگهایی با شدتروشنایی غیریکنواخت، رگهایی با ضخامت غیریکنواخت، رگهای دارای گرفتگی، رگهای دارای انحنای زیاد، و نقاط متعلق به رگهای مماس بایکدیگر میباشند. روش پیشنهادی چیان1 و همکاران برروی تصاویر مصنوعی و تصاویر کلینیکی آزمایش شدهاست و نشان داده شدهاست که تقویت نقاطی از رگ که دارای انحنای زیاد هستند و نیز نقاط متعلق به انشعابات از جمله نکات قوت این روش میباشد. غیریکنواختی پاسخ فیلتر طراحی شده و عدم اتصال نتایج بهدست آمده، از جمله اشکالات روش پيشنهادی است. اين روش برروی تعداد اندکی از دادههای کلینکی آزمایش شدهاست [12].
مانیسینگ2 و همکاران، روشی برای تقویت ساختارهای رگی پیشنهاد کردهاند که در آن از فیلترهای نفوذ استفاده شده و تانسور نفوذ براساس فیلتر بهبود یافته پیشنهادی توسط فرانجی بهدست آمده است (معادله (4)) [18].
(4)
در معادله (4)، 
یک ماتریس قطری است که دارای مؤلفههای زیر است (معادله (5)).
(5)
در معادله (5)، 
پارامتر مقیاس است و 
و 
مقادیر ثابت هستند. فیلتر بهبود یافته فرانجی3 (
) در معادله (6) تعریف شدهاست.
(6)
در مرجع [7]، Pock و همکاران برای تقویت محور مرکزی ساختارهای لولهای، تابع محور مرکزی را مبتنی بر اندازهگيری مقدار گردايان حول محيط يک دايره ارائه کردهاند. يک فازور که براساس بردارهای ویژه ماتریس هسین تعریف میشود تابع را روی لبه رگ حرکت میدهد و متوسط وزندار اندازه گرادیان، خروجی تابع محور مرکزی خواهد بود [7].
تحلیل روشهای تقویت و استخراج ساختارهای لولهای نشان میدهد که استفاده از ماتریس هسین در یک چارچوب چندمقیاسی برای تقویت ساختارهای لولهای و محور مرکزی آنها نتایج خوبی خواهد داشت و معمولاً این روشها به مداخله کاربر نیاز ندارند. برای کاهش حساسیت به نویز، استفاده از هسته گوسی برای هموار کردن تصویر پیشنهادی میشود ولی هموارسازی در مقیاسهای بزرگ موجب میشود که شعاع رگ با تقریب محاسبه شود. در این مقاله، روشی برای تقویت محور مرکزی ساختارهای لولهای با کاربرد در آنالیز سیاهرگهای پورتال، پیشنهاد میشود که یک روش جدید چندمقیاسی مبتنی بر نمونهبرداری و تحلیل تقارن پروفایل رگ در راستاهای مختلف است. این روش برای دادههای دوبعدی و سهبعدی پیادهسازی شده و نتایج آن با نتایج آخرین تحقیقات در زمینه روشهای تقویت ساختارهای لولهای مقایسه شدهاست. نتیجه این مقایسه نشان میدهد که این روش برتری کاملی نسبت به روشهای موجود دارد.
3. روش پیشنهادی
اگر نقطه 
متعلق به یک ساختار لولهای از تصویر باشد و مقادير ويژه ماتريس هسين 
در این نقطه بصورت صعودی (
) مرتب شده و بردارهای ويژه متناظر آنها به ترتيب 
، 
و 
باشند، بردارهای و صفحهای را توصیف میکنند که بر مقطع رگ عمود است و بردار در امتداد محور طولی رگ قرار خواهد داشت [6]. نوآوری روش پیشنهادی برای تقویت محور مرکزی ساختارهای لولهای، توصیف جدیدی از نقاط محور مرکزی میباشد. در روش پیشنهادی، محور مرکزی مکان هندسی نقاطی از لوله است که فاصله آن تا دو لبه لوله در هر راستا برابر میباشد. این توصیف برای لولههایی با مقاطع دایروی (شکل 1-الف و ب) و بیضوی (شکل 1-پ) و برای هر راستای دلخواه برقرار است. در این توصیف تابعی تعریف میکنیم که به هر نقطه از نقاط تصویر مقداری نسبت میدهد که متناسب با معکوس فاصله آن نقطه از محور مرکزی لوله است. اگر بردارهای ویژه و از راستای خود منحرف شوند، توصیف نقاط محور مرکزی به گونهای است که مقدار تابع در آن نقاط تغییر نخواهد کرد.
نقطه را در تصویر 
در نظر میگیریم و مقادیر و بردارهای ویژه آن را بهترتیب و 
مینامیم. در نقطه ، بردار 
را که در آن 
قرار دارد تشکیل میدهیم. میخواهیم فاصله این نقطه را در جهتهای 
تا دو لبه لوله بهدست آوریم. پروفایل قدرمطلق گرادیان تصویر (
) در مرکز لوله دارای یک مینیمم محلی و در لبههای لوله دارای ماکزیمم محلی است.
|
|
|
(الف) | (ب) | (پ) |
شکل 1. توصیف محور مرکزی در روش پیشنهادی. محور مرکزی بهعنوان مکان هندسی نقاطی که فاصله آن تا دو سر سطح لوله در هر راستای دلخواه با هم برابر است. (الف) برای یک لوله با مقطع دایروی، فاصله محور مرکزی تا دو سر سطح لوله در تمام راستاها با هم برابر است(OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=OH). (ب) برای یک لوله با مقطع بیضوی، فاصله محور مرکزی تا دو سر سطح لوله در هر راستاها با هم برابر است (OA=OE, OB=OF, OC=OG, OD=OH). (ج) توصیف پیشنهادی برای محور مرکزی در مقاطع غیر متعامد با راستای لوله نیز برقرار است (OA=OE, OB=OF, OC=OG, OD=OH). اگر فرض کنیم نقاط ماکزیمم محلی در جهتهای | ||
(7) 
(8) 
در معادله (7)، 
پارامتری است که پهنای پاسخ فیلتر را تعیین میکند. نمونهبرداری از تابع 
در زاویه 
که طبق معادله (9) تغییر میکند، انجام میشود.
(9) 
در معادله (9)، ثابت 
، حداکثر شعاع لولهها در تصویر است. برای کاهش حساسیت خروجی تابع به نویز، تابع 
با معادله (10) تعریف میشود.
(10)
در معادله (10)، 
گرادیان تصویر و 
پارامتری است که حساسیت تابع به نویز را تعیین میکند. در این تحقیق مقدار ثابت و برابر با 05/0 قرار داده شدهاست. برای کاهش پاسخ فیلتر در لبههای تصویر، تابع 
را با متوسطگیری وزندار از نمونههای تابع توسط معادلات (11) و (12) تعریف میکنیم.
(11) 
(12) 
در معادله (12)، 
پارامتر حساسیت پاسخ فیلتر است که در این تحقیق این پارامتر ثابت و برابر 02/0 قرار داده شدهاست. تابع تعریف شده توسط معادله (11)، پاسخ اولیهای برای تقویت محور مرکزی ایجاد میکند که وظیفه آن تقویت تمام ساختارهای لولهای در تصویر است. اکنون خروجی این مرحله بهعنوان ورودی برای فیلتر پیشنهادی توسط Pock و همکاران [7] استفاده میشود (معادله (13) - (15)).
(13) 
(14) 
(15)
مقدار 
خروجی تابع تقویت محور مرکزی خواهد بود. برای کاهش خروجی فيلتر تقويتکننده محور مرکزی برای ساختارهای لولهای که مقطع آنها متقارن نيست، ضريب ايزوتروپيک