Manuscript ID : 2021020914775 Visit : 7379 Page: 115 - 134

Article Type: Original Research

Stability Analysis of Networked Control Systems under Denial of Service Attacks using Switching System Theory

Subject Areas :

Mohammad SayadHaghighi ¹ (University of Tehran)
Faezeh Farivar ² (Science and Research Branch, Islamic Azad University)

Received: 2021-02-09 Accepted : 2021-05-09 Published : 2021-11-23

Keywords: Networked Control System, Packet Loss, Denial of Service Attack, Switching Systems, Markov Jump Linear Systems, Lyapunov Stability,

Abstract :

With the development of computer networks, packet-based data transmission has found its way to Cyber-Physical Systems (CPS) and especially, networked control systems (NCS). NCSs are distributed industrial processes in which sensors and actuators exchange information between the physical plant and the controller via a network. Any loss of data or packet in the network links affects the performance of the physical system and its stability. This loss could be due to natural congestions in network or a result of intentional Denial of Service (DoS) attacks. In this paper, we analytically study the stability of NCSs with the possibility of data loss in the feed-forward link by modelling the system as a switching one. When data are lost (or replaced with a jammed or bogus invalid signal/packet) in the forward link, the physical system will not receive the control input sent from the controller. In this study, NCS is regarded as a stochastic switching system by using a two-position Markov jump model. In State 1, the control signal/packet passes through and gets to the system, while in State 2, the signal or packet is lost. We analyze the stability of system in State 2 by considering the situation as an open-loop control scenario with zero input. The proposed stochastic switching system is studied in both continuous and discrete-time spaces to see under what conditions it satisfies Lyapunov stability. The stability conditions are obtained according to random dwell times of the system in each state. Finally, the model is simulated on a DC motor as the plant. The results confirm the correctness of the obtained stability conditions.

References:

[1] H. R. Shaker and R. Wisniewski, “Model reduction of switched systems based on switching generalized gramians,” Int. J. Innov. Comput. Inf. Control, 2012.
[2] G. Wang, Y. Liu, C. Wen, and W. Chen, “Delay-dependent stability criterion and H∞ state-feedback control for uncertain discrete-time switched systems with time-varying delays,” Int. J. Innov. Comput. Inf. Control, 2011.
[3] C. Jiang, K. L. Teo, R. Loxton, and G. R. Duan, “A neighboring extremal solution for optimal switched impulsive control problems with large perturbations,” Int. J. Innov. Comput. Inf. Control, 2012.
[4] J. P. Hespanha, “A model for stochastic hybrid systems with application to communication networks,” Nonlinear Anal. Theory, Methods Appl., 2005.
[5] Q. Zhang, “Stochastic Switching Systems: Analysis and Design-[Book review; E. K. Boukas],” IEEE Trans. Automat. Contr., 2007.
[6] R. Yang, P. Shi, G. P. Liu, and H. Gao, “Network-based feedback control for systems with mixed delays based on quantization and dropout compensation,” Automatica, 2011.
[7] Q. Lu, L. Zhang, M. Basin, and H. Tian, “Analysis and synthesis for networked control systems with uncertain rate of packet losses,” J. Franklin Inst., 2012.
[8] L. Zhang, H. Gao, and O. Kaynak, “Network-induced constraints in networked control systems-A survey,” IEEE Trans. Ind. Informatics, 2013.
[9] H. S. Foroush and S. Martínez, “On single-input controllable linear systems under periodic DoS jamming attacks,” arXiv Prepr. arXiv1209.4101, 2012.
[10] A. A. Ahmadi and R. M. Jungers, “On complexity of Lyapunov functions for switched linear systems,” in IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline), 2014.
[11] A. Bacciotti, “Stability of switched systems: An introduction,” in Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics), 2014.
[12] D. Liberzon, J. P. Hespanha, and A. S. Morse, “Stability of switched systems: A Lie-algebraic condition,” Syst. Control Lett., 1999.
[13] J. Daafouz, P. Riedinger, and C. Iung, “Stability analysis and control synthesis for switched systems: A switched Lyapunov function approach,” IEEE Trans. Automat. Contr., 2002.
[14] J. P. Hespanha and A. S. Morse, “Stability of switched systems with average dwell-time,” in Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control, 1999.
[15] G. Zhai, B. Hu, K. Yasuda, and A. N. Michel, “Stability analysis of switched systems with stable and unstable subsystems: An average dwell time approach,” Int. J. Syst. Sci., 2001.
[16] H. Zhang, D. Xie, H. Zhang, and G. Wang, “Stability analysis for discrete-time switched systems with unstable subsystems by a mode-dependent average dwell time approach,” ISA Trans., 2014.
[17] H. Ishii, T. Başar, and R. Tempo, “Randomized algorithms for synthesis of switching rules for multimodal systems,” IEEE Trans. Automat. Contr., 2005.
[18] Y. Zhang, M. Wang, H. Xu, and K. L. Teo, “Global stabilization of switched control systems with time delay,” Nonlinear Anal. Hybrid Syst., 2014.
[19] J. Xiong, J. Lam, Z. Shu, and X. Mao, “Stability analysis of continuous-time switched systems with a random switching signal,” IEEE Trans. Automat. Contr., 2014.
[20] H. Liu, Y. Shen, and X. Zhao, “Finite-time stabilization and boundedness of switched linear system under state-dependent switching,” J. Franklin Inst., 2013.
[21] M. Prandini, J. P. Hespanha, and M. C. Campi, “Hysteresis-based switching control of stochastic linear systems,” in European Control Conference, ECC 2003, 2003.
[22] S. Miani and A. C. Morassutti, “Switching controllers for networked control systems with packet dropouts and delays in the sensor channel,” IFAC Proc. Vol., 2009.
[23] J. Nygren and K. Pelckmans, “A closed loop stability condition of switched systems applied to NCSs with packet loss,” IFAC-PapersOnLine, 2015.
[24] N. A. Baleghi and M. H. Shafiei, “Stability analysis for discrete-time switched systems with uncertain time delay and affine parametric uncertainties,” Trans. Inst. Meas. Control, 2018.
[25] A. R. Teel, A. Subbaraman, and A. Sferlazza, “Stability analysis for stochastic hybrid systems: A survey,” Automatica, 2014.
[26] P. Shi and F. Li, “A survey on Markovian jump systems: Modeling and design,” Int. J. Control. Autom. Syst., 2015.
[27] Y. Fang and K. A. Loparo, “Stochastic stability of jump linear systems,” IEEE Trans. Automat. Contr., 2002.
[28] O. L. V. Costa, M. D. Fragoso, and R. P. Marques, Discrete-time Markov jump linear systems. Springer Science & Business Media, 2006.
[29] W. Zhou, Q. Zhu, P. Shi, H. Su, J. Fang, and L. Zhou, “Adaptive synchronization for neutral-type neural networks with stochastic perturbation and Markovian switching parameters,” IEEE Trans. Cybern., 2014.
[30] A. S. Morse, “Supervisory control of families of linear set-point controllers - Part 1: Exact matching,” IEEE Trans. Automat. Contr., 1996.
[31] Y. Ji and H. J. Chizeck, “Controllability, Stabilizability, and Continuous-Time Markovian Jump Linear Quadratic Control,” IEEE Trans. Automat. Contr., 1990.
[32] Z. Ning, L. Zhang, and J. Lam, “Stability and stabilization of a class of stochastic switching systems with lower bound of sojourn time,” Automatica, 2018.
[33] H. Yang, H. Xu, Y. Xia, and J. Zhang, “Stability analysis on networked control systems under double attacks with predictive control,” Int. J. Robust Nonlinear Control, 2020.
[34] C. Peng and H. Sun, “Switching-Like Event-Triggered Control for Networked Control Systems under Malicious Denial of Service Attacks,” IEEE Trans. Automat. Contr., 2020.
[35] F. Farivar, M. S. Haghighi, A. Jolfaei, and S. Wen, “On the Security of Networked Control Systems in Smart Vehicle and Its Adaptive Cruise Control,” IEEE Trans. Intell. Transp. Syst., 2021.
[36] F. Farivar, M. S. Haghighi, S. Barchinezhad, and A. Jolfaei, “Detection and compensation of covert service-degrading intrusions in cyber physical systems through intelligent adaptive control,” in Proceedings of the IEEE International Conference on Industrial Technology, 2019, vol. 2019-Febru.
[37] Y. Deng, X. Yin, and S. Hu, “Event-triggered predictive control for networked control systems with DoS attacks,” Inf. Sci. (Ny)., 2021.
[38] J. Liu, Z. G. Wu, D. Yue, and J. H. Park, “Stabilization of Networked Control Systems with Hybrid-Driven Mechanism and Probabilistic Cyber Attacks,” IEEE Trans. Syst. Man, Cybern. Syst., 2021.
[39] S. Y. Lü, X. Z. Jin, H. Wang, and C. Deng, “Robust adaptive estimation and tracking control for perturbed cyber-physical systems against denial of service,” Appl. Math. Comput., 2021.
[40] N. Toorchi, M. A. Attari, M. S. Haghighi, and Y. Xiang, “A Markov model of safety message broadcasting for vehicular networks,” in IEEE Wireless Communications and Networking Conference, WCNC, 2013.
[41] M. S. Haghighi and Z. Aziminejad, “Highly Anonymous Mobility-Tolerant Location-based Onion Routing for VANETs,” IEEE Internet Things J., 2019.
[42] A. R. Javed, M. Usman, S. U. Rehman, M. U. Khan, and M. S. Haghighi, “Anomaly Detection in Automated Vehicles Using Multistage Attention-Based Convolutional Neural Network,” IEEE Trans. Intell. Transp. Syst., 2021.
[43] F. Farivar, M. S. Haghighi, A. Jolfaei, and M. Alazab, “Artificial Intelligence for Detection, Estimation, and Compensation of Malicious Attacks in Nonlinear Cyber-Physical Systems and Industrial IoT,” IEEE Trans. Ind. Informatics, 2020.
[44] F. Farivar, M. S. Haghighi, A. Jolfaei, and S. Wen, “Covert Attacks through Adversarial Learning: Study of Lane Keeping Attacks on the Safety of Autonomous Vehicles,” IEEE/ASME Trans. Mechatronics, 2021.
[45] G. Wangg and Z. Li, “Stability analysis of discrete-time randomly switched systems via an LMI approach,” in Chinese Control Conference, CCC, 2017.
[46] Debabrata Pal, “Modeling, Analysis and Design of a DC Motor based on State Space Approach,” Int. J. Eng. Res., 2016.

Full-Text:

تحلیل پایداری سیستم‌های کنترل شده تحت شبکه حین حملات محرومیت سرویس با تئوری سیستم‌های سوئیچنگ

دو فصلنامه علمي

فناوري اطلاعات و ارتباطات ایران

سال سیزدهم، شماره‌هاي49و50، پاییز و زمستان 1400

صص: 115_134

$E:\E Drive\logo\iicta Logo0.JPG$

تحلیل پایداری سیستم‌های کنترل شده تحت شبکه حین حملات محرومیت سرویس با تئوری سیستم‌های سوئیچنگ

محمد صیاد حقیقی* فائزه فریور* *

* استادیار دانشکده مهندسی برق و کامپیوتر، پردیس دانشکده‌های فنی، دانشگاه تهران

* * استادیار گروه مهندسی کامپیوتر- مکاترونیک، واحد علوم و تحقیقات تهران، دانشگاه آزاد اسلامی

تاریخ دریافت: 21/11/1399 تاریخ پذیرش: 19/02/1400

نوع مقاله: پژوهشی

چكیده

با رشد روز افزون استفاده از شبکه‌های کامپیوتری برای انتقال داده، سیستم‌های سایبری- فیزیکی¹ بسیار مورد توجه قرار گرفته اند. سیستمهای کنترل شده تحت شبکه²، از انواع صنعتی این سیستمها هستند که در آن سنسورها و عملگرها، از طریق شبکه اطلاعات را بین واحد های مختلف تبادل میکنند. از دست رفتن داده در شبکه‌‌ بر عملکرد سیستم فیزیکی و پایداری آن تاثیرگذار است. از دست رفتن عمده داده میتواند بدلیل حمله محرومیت سرویس³ باشد. در این مقاله، به تحلیل پایداری سیستم‌های خطی کنترل‌شده تحت شبکه با احتمال از دست رفتن داده در مسیر پیشرو بدلیل حمله پرداخته شده است. سیستم کنترل شده تحت شبکه در حین حمله با یک سیستم سوییچینگ تصادفی با مدل پرش مارکوف دو وضعیته مدل شده است. در وضعیت شماره یک شبکه داده ارسالی کنترل‌کننده را به سیستم انتقال میدهد و در وضعیت شماره دو، داده از دست رفته و سیستم از داده دیگری مانند یک مقدار پیش فرض به عنوان ورودی استفاده می کند. در این مقاله پایداری سیستم فیزیکی کنترل شده تحت شبکه حین حملات محرومیت سرویس هم در حوزه زمان پیوسته و هم زمان گسسته مورد تحلیل قرارگرفته است که دستاورد آنها، معرفی شرایط پایداری لیاپانوف برای سیستم با توجه به زمانهای اقامت تصادفی در هر وضعیت است. همچنین با استفاده از نتایج تحلیل انجام شده، یک روش جدید برای پایداری سازی چنین سیستمهایی تحت حمله محرومیت از سرویس از طریق مدیریت مقدار پیش فرض پیشنهاد می شود. در نهایت، مطالعه انجام شده بر روی چند سیستم کنترلی نمونه شبیه‌سازی شده است. نتایج ضمن تایید تئوری استخراج شده، نشان می دهند که چگونه سیستمی تحت حمله که حدود 80% بسته کنترلی خود را از دست می دهد، با روش پیشنهادی پایدار نگاه داشته می شود.

واژگان کلیدی: سیستم کنترل‌شده تحت شبکه، اتلاف بسته، محرومیت سرویس، سیستم سوییچینگ، سیستم خطی پرش مارکوف، پایداری لیاپانوف.

[1] Cyber Physical Systems sayad@ieee.org نویسنده مسئول: محمدصیاد حقیقی

[2] Networked Control Systems

[3] Denial of Service (DoS)

1. مقدمه

در سالهای اخیر، با توجه به رشد روز افزون استفاده از شبکه‌های کامپیوتری برای انتقال داده، سیستم‌های کنترل شده تحت شبکه¹، اینترنت اشیاء² و سیستم‌های سایبری- فیزیکی³ بسیار مورد توجه قرار گرفته اند. در سیستم‌های کنترل شده تحت شبکه نظیر سایر سیستم‌های فیزیکی متداول، قسمت فیزیکی با استفاده از عملگرها فرمانهای کنترلی را دریافت میکند و اطلاعات سیستم از طریق حسگرها اندازه‌گیری ارسال میشود، با این تفاوت که فرآیند انتقال و تبادل داده در این سیستم‌ها بر بستر شبکه صورت میگیرد که امکان کنترل سیستم از راه دور را نیز میسر می‌کند. استفاده از کانال‌های ارتباطی شبکه در انتقال و تبادل داده بر دینامیک سیستم حلقه بسته تاثیر می‌گذارد. ازاین رو، عواملی نظیر زمان انتقال، الگوهای سیگنال‌ها و همچنین ویژگیهای شبکه بر رفتار سیستم کنترل تحت شبکه تاثیرگذار است. همچنین، ارتباطات بر بستر شبکه با عدم قطعیت⁴ در انتقال داده و احتمال از دست رفتن بسته داده⁵ همراه است. بنابراین، در مدلسازی رفتار کانال‌های ارتباطی از مدلهای احتمالاتی استفاده می‌شود.

سیستمهای کنترل شده تحت شبکه، سیستم‌هایی در کنترل فرآیندهای صنعتی توزیع شده هستند که در آن سنسورها و عملگرها از طریق شبکه با سرعت و ظرفیت انتقال محدود، اطلاعات را بین سیستم تحت کنترل و کنترل‌کننده جابجا میکنند. در مقایسه با سیستمهای کنترل متداول که در آن ارتباط بین بخشها با کابل و به صورت نقطه به نقطه است، در اینگونه سیستمها اتصال همیشه قابل اعتماد نیست. البته چنین سیستمی دارای مزایایی از قبیل، امکان تنظیم مجدد کنترل‌کننده، نظارت بر داده‌ها و غیره است. تنظیم مجدد کنترل‌کننده روشی برای تضمین عملکرد سیستم کنترل‌شده تحت شبکه است که می‌تواند با توجه به تاخیر زمانی متغیر در ارسال بستههای داده و یا از دست رفتن بسته ها در شبکه، عملکرد قابل قبولی از سیستم را تضمین نماید. از دست رفتن بسته‌ و تاخیر در ارسال و دریافت بسته‌ها، بر عملکرد کنترل‌کننده و در نتیجه بر پایداری و عملکرد سیستم تحت کنترل تاثیر می گذارد.

سیستم‌های سوییچینگ⁶ یک دسته خاص از سیستم‌‌های ترکیبی⁷ گسسته و پیوسته هستند. در سیستم‌های سوییچینگ، سیگنال سوییچ امکان ارتباط و همکاری بین دینامیکهای گسسته و پیوسته سیستم را فراهم می‌کند. این سیگنال مشخص میکند که در هر لحظه از زمان، کدام یک از زیرسیستمها فعال است. دسته‌ای از این سیستم‌ها، سیستمهای سوئیچینگ تصادفی هستند که در آنها، سیگنال سوییچ بصورت تصادفی در هر لحظه از زمان مشخص می‌کند که کدام زیرسیستم فعال باشد. این سیستمها دارای ساختاری متغیر هستند و می‌توانند به عنوان مدلهایی برای سیستم‌های تحت تاثیر تغییرات تصادفی ساختاری مورد استفاده قرار گیرند. سیستمهای خطی پرش مارکوف⁸، زیرمجموعه‌ای از این سیستم‌های تصادفی هستند که در آنها یک سیستم خطی با یک سیگنال سوییچ تولید شده از حالتهای سیستم در یک زنجیره مارکوف درنظر گرفته می‌شود.

در این مقاله، پایداری سیستم‌های خطی کنترل شده تحت شبکه در حضور از دست رفتن بسته داده در مسیر ارسال اطلاعات، برای مثال در اثر یک حمله محرومیت سرویس، بررسی می‌شود. از آنجایی که اتلاف داده موجب تغییر عملکرد سیستم میشود، پایداری سیستم کنترلی حلقه بسته تحت تاثیر قرار می گیرد. عامل اتلاف، چه تداخل باشد و یا حمله، موجب میشود در برخی از بازه های زمانی سیستم فیزیکی بدرستی در حلقه کنترلی عمل نکند و بسته داده تولیدی توسط کنترلر بدرستی و در زمان درست در اختیار سیستم قرار نگیرد و یا بسته داده فیدبک از سنسورها بدرستی و یا در زمان درست در اختیار کنترلر قرار نگیرد. در چنین حالتی، سیستم فیزیکی در برخی بازه‌های زمانی احتمالا ناپایدار میشود و مود کنترلی سیستم حلقه بسته بین دو وضعیت پایدار و ناپایدار سوئیچ خواهد کرد. از اینرو، در این مقاله، از مفاهیم پایداری در سیستم‌های سوییچینگ استفاده خواهد شد تا با توسعه آنها، بتوان به تحلیل پایداری سیستمهای خطی کنترل شده تحت شبکه در حین از دست دادن داده پرداخت و در نتیجه آن، شرایط لازم و کافی برای پایداری این سیستم ها را ارایه کرد. در این مقاله بطور خاص، تحلیل پایداری سیستم خطی کنترل‌شده تحت شبکه با احتمال از دست رفتن داده در مسیر پیشرو مطالعه می‌شود. سیستم کنترل شده تحت شبکه (با احتمال از دست دادن داده)، با یک سیستم سوییچینگ تصادفی با مدل پرش مارکوف دو وضعیته مدل می‌شود. در وضعیت 1، داده ارسالی کنترل‌کننده توسط شبکه به سیستم انتقال می‌یابد و در وضعیت 2 داده از دست می‌رود. سیستم فیزیکی در صورت عدم دریافت سیگنال کنترلی از طریق کانال، معمولا از یک سیاست پیش فرض پیروی می کند. این سیاست میتواند اعمال ورودی صفر (سیستم حلقه باز)، اعمال آخرین ورودی دریافت شده، و یا اعمال ورودی خاص برای اهدافی مانند حفظ پایداری سیستم باشد. در این مقاله، سیستم‌های خطی کنترل شده تحت شبکه در حضور از دست رفتن بسته داده در مسیر پیشرو به صورت سیستم سوییچینگ تصادفی مدل می‌شود و پایداری لیاپانوف آنها در حوزه زمان پیوسته و زمان گسسته بررسی می گردد. بطور خلاصه می توان نوآوری های این مقاله را بصورت زیر فهرست کرد:

· معرفی یک مدل پیشنهادی دو وضعیته مارکوف و استفاده از مدل سوئیچینگ در سیستم‌های کنترلی تحت شبکه حین حمله محرومیت سرویس (یا تداخل).

· تحلیل ریاضی و ارایه شرایط پایداری سیستم کنترل شده تحت شبکه حین حملات محرومیت سرویس در حوزه زمان پیوسته و زمان گسسته با استفاده از مدل پیشنهادی.

· انجام چند مطالعه موردی برای صحت سنجی شرایط پایداری بدست آمده بصورت تئوری و نیز ارائه یک راهکار جدید برای مقاوم سازی سیستم‌های خطی کنترل شده تحت شبکه در برابر حمله محرومیت سرویس با استفاده از ورودی محلی تطبیقی.

ساختار ادامه مقاله بدین شرح است؛ در بخش دوم، مطالعات پیشین مرور می‌شود. در بخش سوم، به معرفی سیستم‌کنترل‌شده تحت شبکه‌ با احتمال از دست رفتن داده/بسته پرداخته می‌شود. در این بخش، ساختار کنترلی سیستم کنترل شده تحت شبکه و مدل سوییچنیگ پیشنهادی برای عملکرد سیستم حلقه بسته (با احتمال از دست رفتن داده) آورده شده است. همچنین، مسئله پایداری سیستم کنترل‌شده تحت شبکه و ارتباط مفهمومی آن با پایداری سیستم‌های سوئیچینگ تبیین شده است. تحلیل پایداری سیستم کنترل‌شده تحت شبکه در حین حمله در بخش چهارم آورده شده است. همچنین، شرایط پایداری لیاپانوف برای سیستم در حوزه زمان-پیوسته و زمان-گسسته ارائه شده است. در بخش پنجم، شرایط پایداری بدست آمده با شبیه‌سازی بر روی سیستم‌های نمونه مورد بررسی قرار گرفته و راه حلهایی جهت مقاوم‌سازی سیستم در برابر حمله محرومیت از سرویس ارایه می شود. در نهایت، نتیجه‌گیری این مقاله ارائه خواهد شد.

2. مطالعات پیشین

در این بخش، مطالعات پیشین مرتبط با این تحقیق مرور می‌شود. در مطالعات اخیر سیستم‌های ترکیبی و سیستم‌های سوییچینگ، یک طبقه مهم و اساسی از تحقیقات را به خود اختصاص داده اند [1]. سیستم‌ سوییچینگ شامل تعدادی از زیرسیستم‌ها (که دارای دینامیک‌های مختلف می‌باشد) و یک سیگنال سوییچینگ که تعیین میکند کدام زیرسیستم فعال باشد. بسته به وضعیت سوییچ و همچنین دینامیک زیرسیستم‌ها، رفتارهای پیچیده در مسیر متغیرهای حالت امکانپذیر است [2], [3]. به همین علت، تجزیه و تحلیل پایداری و عملکرد سیستم‌های سوییچینگ، چالش‌های مختلفی را ایجاد کرده و محققان را به سمت دستیابی به نتایج تاثیرگذار هدایت می‌کند. سیستمهای سوییچینگ دارای کاربردهای مختلفی از جمله در شبکه‌های ارتباطی [4]، صنعت هوافضا [5] و سیستمهای کنترل شده تحت شبکه [6]–[9] هستند.

يكی از مهمترين مسائل مورد بررسی در زمينه سيستم‌های سوییچینگ، پايدارسازی سيستم‌های سوییچینگ است. پایداری سیستم‌های سوییچینگ برای انواع مختلف سیستمهای سوییچینگ مطالعه شده است. در [10]–[12] مفاهیم پایداری سیستم‌های سوییچینگ توضیح داده شده است.

انواع سوییچینگ قطعی و سوییچینگ تصادفی در[12] و [13] بررسی شده اند و شرایطی که در آن یک سیستم سوییچینگ برای تمام حالات سوییچینگِ ممکن، پایدار باقی می‌ماند، استخراج شده اند. فرکانس سوییچینگ در سیگنال سوییچینگ را می‌توان با استفاده از مفاهیم زمان اقامت و متوسط زمان اقامت محدود کرد. مقاله [14] سیستم‌های سوییچینگ متشکل از زیرسیستم‌های پایدار (که در [15] و[ 16] آورده شده است) را به سیستم‌های سوییچینگ متشکل از زیر سیستم‌های ناپایدار بسط و توسعه میدهد. علاوه بر این، مشکل طراحی قوانین سوییچینگ وابسته به حالت، برای تضمین پایداری در [17] مورد بررسی قرار گرفته است.

در مقاله [18] مسئله پایدارسازی سیستم‌های کنترل سوییچ، با تاخیر زمانی برای هر دو مورد خطی و غیرخطی مورد بررسی قرار گرفته است. در این مقاله، یک مفهوم جدید پایدارپذیری عمومی در رابطه با فیدبک و قانون سوییچینگ ارائه شده است. در این مقاله براساس توابع چندگانه لیاپانوف، یک کنترل‌کننده فیدبک حالت و قانون سوییچینگ برای اطمینان از اینکه سیستمهای سوییچینگ حلقه بسته با تاخیر زمانی به طور عمومی پایدار مجانبی و پایدار نمایی باشند، ارائه شده است. در مقالات[19]–[21] پایداری سیستمهای سوییچینگ تصادفی مورد بررسی قرار گرفته است.

مقاله‌های [22], [23]، مفاهیم پایداری سیستمهای سوییچینگ را در سیستمهای کنترل تحت شبکه با احتمال از دست رفتن داده و تاخیر زمانی بررسی کرده اند. مقاله [19] مربوط به تحلیل پایداری سیستمهای سوییچینگ زمان پیوسته با یک سیگنال سوییچینگ تصادفی است. سیگنال سوییچینگ که زمان اقامت در هر زیرسیستم را مشخص می کند، شامل یک قسمت ثابت و یک قسمت تصادفی است. پایداری تصادفی سیستمهای سوییچینگ با استفاده از رویکرد لیاپانوف مورد مطالعه قرار گرفته است. در این مطالعه يک روش مبتنی بر حل نامعادلات خطی ماتريسی برای پايدارسازی مقاوم سيستمهای سوئيچينگ خطی دارای نامعينی پارامتری ارائه شده است.

در مقاله[24] شرايط پايداری برای سيستم سوییچینگ خطی زمان گسسته در حضور عدم قطعيت پارامتری و تاخير زمانی مورد مطالعه قرار گرفته است. تاخير به صورت متغير با زمان اما محدود فرض شده و براساس توابع لياپانوف، شروط کافی جهت تعيين حد بالای مجاز برای تاخير مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین، روش زمان اقامت ميانگين که يكی از ابزارهای موثر جهت بررسی پايداری در سيستمهای سوییچینگ است، جهت استخراج اين شروط مورد استفاده قرار گرفته است. شروط بدست آمده، شرايطی برای سيگنال کليدزنی مشخص کرده است که هيچ وابستگی به عدم قطعيت موجود در سيستم ندارد.

برای سیگنال‌های سوییچینگ تصادفی، مفاهیم مربوط به پایداری در [25], [26] بررسی شده اند. در بیشتر موارد، نتایج پایداری برای چنین سیستمهایی به اطلاعات آماری در سیگنال سوییچینگ مانند احتمال سوییچهای حالت و توزیع‌های ثابت در ارتباط با حالتها، وابسته است. یک کلاس مهم از سیستم‌های سوییچینگ تصادفی، پرش مارکوف است که سیگنال سوییچینگ بر اساس یک مدل مارکوف تولید می‌شود [27]–[29]. سیستم‌ پرش مارکوف به عنوان یک زیر سیستم از سیستم‌های تصادفی بسیار مورد توجه محققان در مطالعه سیستم‌های سوئیچنیگ قرارگرفته است. در این رویکرد فرض می‌شود سیستم سوییچینگ بین حالتهای مختلف سیستم مارکوف تغییر وضعیت میدهد. زمان اقامت در هر وضعیت از سیستم‌ پرش مارکوف از دو بخش زمان اقامت ثابت و زمان اقامت تصادفی تشکیل شده است. زمان اقامت ثابت نقش مشابهی را با زمان اقامت در سیستمهای سوییچینگ قطعی ایفاء می‌کند [30]، و زمان اقامت تصادفی شبیه به زمان توزیع بصورت نمایی در سیستم‌های پرش مارکوف است [31].

مقاله [32] به مسئله پایداری در سیستمهای سوئیچینگ تصادفی زمان گسسته، با زمان اقامت محدود پرداخته است. سیستمهای سوئیچینگ تصادفی با سیستمهای خطی پرش نیمه مارکوف مدل شده و سپس از روش پایه ای نیمه مارکوف برای بررسی مسائل پایداری استفاده میشود. زمان اقامت در هر وضعیت سیستم دارای دو حد بالا و پایین است. این عمومی تر از سناریوهای قبلی است که در آنها فقط محدودیت بالایی از زمان اقامت را در نظر میگرفتند. در این مقاله، با استفاده از یک تابع لیاپانوف که نه تنها به وضعیت فعلی سیستم بستگی دارد بلکه به زمان سپری شده در وضعیت فعلی نیز وابسته است، شرایط پایداری برای سیستم سوییچ تصادفی حلقه بسته بدست آمده است.

در مقاله [33]، پایداری سیستم کنترل شده تحت شبکه حین حملات تزریق داده‌های کاذب با استفاده از یک روش کنترل پیش بینی تحلیل و بررسی می شود. در مدلسازی حملات، از تئوری بازی برای بدست آوردن نتایج موازنه‌ای تکرار و مدت زمان استفاده شده است. سپس، تحت استراتژی حمله، پایداری سیستم کنترل شده تحت شبکه توسط کنترل پیش بین با استفاده از روش سیستم سوئیچینگ بررسی شده است.

در مقاله [34]، کنترل شبه رویداد سوئیچینگ برای سیستم کنترل شده مبتنی بر شبکه تحت حملات محرومیت سرویس بررسی شده است. یک طرح ارتباطی رویدادی که باعث ایجاد سوئیچ می شود، طراحی شده است تا با حملات متناوب برای بهبود ارتباطات مقابله کند. سپس، با محدودیت تعداد حداکثر افت داده های مجاز ناشی از حملات، یک معیار تثبیت برای تخمین پارامترهای ارتباطی ناشی از رویداد و قانون کنترلی امن بدست آمده است.

در مقاله [35]، دو حمله سایبری به سیستم‌های کنترل کروز تطبیقی طراحی شده است به نحوی که احتمال بروز تصادف را افزایش می‌دهد. در این مقاله، سامانه تشخیص حمله و سیستم جبرانسازی طراحی شده است. چنانچه سامانه تشخیص نفوذ، رخداد حمله را تشخیص دهد، با اعمال فرمان، سوییچ بین کنترل‌کننده اصلی سیستم (کنترل‌کننده مدل پیش‌بین) و سیستم جبرانساز (کنترل‌کننده PID) انجام می‌شود. مطالعه مشابهی بر روی سیستم موتور DC در مقاله [36] انجام شده است که در صورت تشخیص حمله، با اعمال سوییچ کنترل‌کننده اصلی که PID است با یک کنترل‌کننده هوشمند شبکه عصبی جایگزین می‌شود. در این دو مقاله، سامانه تشخیص نفوذ، یک سیستم یادگیرنده است که در طول دوره امن در آغاز کار سیستم، رفتار نرمال سیستم را یاد میگیرد.

در مقاله [37]، یک پروتکل جدید کنترل کننده پیش بین مبتنی بر رویداد برای ایجاد ثبات در سیستم های کنترل میتنی بر شبکه تحت حملات محرومیت سرویس ارائه شده است. دو نوع مدل حمله DoS در این مقاله معرفی شده است که برای کانال های ارتباطی سنسور به کنترل کننده و کنترل کننده به عملگر میتواند اعمال شود. سپس با توجه به حملات معرفی شده، کنترل‌کننده های پیش بین ارائه شده است. سعی شده است تا کنترل‌کننده‌های جبرانساز، پهنای باند شبکه را کاهش دهد و تأثیر منفی حملات بر عملکرد سیستم را جبران کند.

در مقاله [38]، نواقص طراحی کنترل کننده سیستم‌های کنترل شده مبتنی بر شبکه تحت حملات سایبری بررسی شده است. برای صرفه جویی در منابع محدود ارتباطی، از یک استراتژی ارتباطی برای عملگر استفاده شده است. اندازه‌گیریها از طریق یک شبکه ارتباطی منتقل می شوند و ممکن است در اثر حملات سایبری خراب شوند. هدف این مقاله طراحی یک کنترل کننده برای مدل جدید سیستم حلقه بسته با در نظر گرفتن حملات سایبری تصادفی و طراحی کنترل‌کننده ترکیبی است. با استفاده از تئوری پایداری لیاپونوف و روشهای فرآیند تصادفی، معیار پایداری برای پایداری سیستم بدست آمده است.

مقاله [39]، به طراحی کنترل‌کننده ردیاب مقاوم برای سیستم کنترل مبتنی بر شبکه تحت حملات سایبری پرداخته است. در این مقاله، مهاجم یک دشمن فعال است که هدف آن به ترتیب کاهش شدید عملکرد ردیابی سیستم با شروع حملات فریب به کانالهای ارتباطی سنسور به کنترل کننده و حملات محرومیت سرویس به کانالهای کنترل کننده به سیستم است. همچنین در این مقاله، یک استراتژی کنترل مقاوم تطبیقی در صورت وجود عدم قطعیت در اطلاعات سیستم و همچنین در حضور حملات، پیشنهاد شده است.

از مهمترین سیستم‌های کنترل شده تحت شبکه، شبکه‌های ارتباطات خودرویی هستند که چنانچه این شبکه‌ها تحت حملات سایبری قرار بگیرد می‌تواند خسارت زیادی ایجاد نماید [40]. از اینرو، بررسی وضعیت‌ پایداری سیستم‌های کنترل شده تحت شبکه بسیار حائز اهمیت است و می‌تواند از بروز تصادف، حوادث و خسارات در سیستم حمل و نقل هوشمند جلوگیری بعمل آورد و موجب پایداری و امنیت سیستم‌های نقلیه هوشمند شود. در مقاله [41]، انواع حملات به شبکه اقتضایی وسایل نقلیه⁹ شامل حملات جعل پیام و پخش مجدد، حملات یکپارچگی و جعل هویت، حملات محرومیت سرویس و حمله ناشناس ماندن، بررسی و مطالعه شده است. در مقاله[42]، از شبکه های عصبی کانولوشن مبتنی بر توجه چند‌مرحله ای برای تشخیص ناهنجاریها، نفوذ و حملات در وسایل نقلیه خودکار استفاده می‌شود. به طور خاص، در مقاله [43]، روشهایی برای تشخیص نفوذ و جبرانسازی حملات سایبری انجام شده بر روی شبکه ارتباطی سیستم کنترل کروز اتومبیل طراحی شده است. همچنین در مقاله [35] که پیشتر توضیح داده شد، دو حمله سایبری پنهان به سیستم های کنترل کروز تطبیقی طراحی شده است به نحوی که احتمال بروز تصادف را افزایش می‌دهد و سپس مکانیزم‌های جبرانسازی مبتنی بر سوییچ بین کنترل‌کننده ها ارائه شده است. در مقاله [44]، حملات پنهانی بر روی وسایل نقلیه خودمختار مطالعه شده است. در این مقاله، یک مهاجم هوشمند طراحی شده است که می‌تواند کانال ارتباطی بین سنسورها و کنترل کننده را بدست گرفته و ایمنی خودرو خودران را به خطر بیندازد و ورودی های واحد کنترل‌کننده (قرائت سنسور) را به گونه‌ای تغییر می‌دهد که تصمیمات کنترل کننده به نفع مهاجم تغییر کند. مهاجم تابع توزیع احتمال¹⁰ انحرافات جانبی از خط مرکز جاده را یاد می‌گیرد و حمله با حداکثر قدرتی را اعمال می‌کند که برای مسافران/ راننده مخفی باقی می‌ماند، اما از نظر آماری احتمال تصادف را افزایش می‌دهد. حداکثر قدرت این حمله توسط سیستم یادگیری عملگر- نقاد تنظیم می‌شود.

3. سیستم کنترل‌شده تحت شبکه‌ با احتمال از دست رفتن داده

در این مقاله، تحلیل پایداری سیستمهای کنترل شده تحت شبکه (با احتمال از دست رفتن داده مثلا بر اثر حمله محرومیت سرویس) با استفاده از مفاهیم و رویکرد پایداری در سیستم‌های سوئیچینگ تصادفی تحقیق شده است. در این بخش، ابتدا ساختار یک سیستم کنترل‌شده تحت شبکه معرفی می‌شود. از آنجایی که احتمال از دست رفتن بسته داده‌ای در کانالهای ارتباطی شبکه وجود دارد، فرآیند کنترل سیستم‌ها تحت شبکه یک فرآیند تصادفی است و به وضعیت شکبه ارتباطی وابسته می‌شود. از اینرو در ادامه این بخش، یک مدل مارکوف برای مدلسازی رفتار شبکه در یک سیستم کنترل‌شده تحت شبکه ارائه شده است. با توجه به مدل پیشنهادی، برای تحلیل پایداری سیستم فیزیکی کنترل‌شده تحت شبکه از مفاهیم و تئوریهای سیستم‌های سوئیچینگ استفاده می‌شود که تحلیل پایداری در بخش بعدی آورده شده است.

3_1 ساختار کنترلی سیستم کنترل شده تحت شبکه و فرضیات

3_1_1 مدل حمله و شبکه

بلوک دیگرام یک سیستم فیزیکی کنترل‌شده تحت شبکه در شکل 1 نشان داده شده است. همانگونه که پیش‌تر توضیح داده شد، در این مطالعه رابط شبکه دارای احتمال اتلاف و از دست دادن بسته در حین ارسال است. این شکل بلوک دیاگرام تمامی اجزاء یک سیستم حلقه بسته را دارد.

عملکرد تمامی این اجزا همانند سیستم کنترل کلاسیک و متداول است با این تفاوت که داده‌های ارسالی از کنترلر به سیستم فیزیکی و همچنین داده ارسالی از سنسورها به کنترلر از بستر شبکه انتقال می‌یابند. این شبکه می‌تواند دارای تداخل¹¹ از نوع طبیعی و یا حمله عمدی باشد که منتهی به از دست رفتن بسته‌های داده‌ای در مسیرهای انتقال شود. همانطور که در شکل مشاهده می‌شود، بدلیل احتمال از دست رفتن بسته داده در شبکه در مسیر پیشرو، سیگنالها قبل از عبور از شبکه در این مسیر، با آنچه به سیستم فیزیکی رسیده و اعمال می شود دارای تفاوت ‌هستند (این تفاوتها شامل عدم وجود سینگال در اثر از بین رفتن بسته نیز می شود). از اینرو، نامگذاری سیگنال قبل از عبور از شبکه و آنچه که به سیستم اعمال می شود، متفاوت انجام شده است تا بتوان بین آنها تمایز قائل شد. با فرض محافظت از بسته ها با استفاده از کدهای احراز هویت پیام و امضای دیجیتال، گیرنده بسته های تغییر یافته و نامعتبر را دور ریخته و به مانند بسته از دست رفته تلقی می کند. بنابراین هر بسته ارسالی کنترلی یا از شبکه عبور کرده و سالم به سیستم فیزیکی می رسد و یا در طول مسیر از دست می رود. برای ساده‌سازی حل مساله در این مطالعه، تاثیر از دست رفتن بسته فقط در مسیر پیشرو¹² مطالعه شده است و فرض شده است که احتمال از دست رفتن داده در مسیر فیدبک وجود ندارد و در مطالعات آتی، به آنها پرداخته خواهد شد.

3_1_2 مدل سیستم فیزیکی و کنترل حلقه بسته

در این مطالعه، سیستم‌ فیزیکی که کنترل آن از طریق بستر شبکه صورت می‌گیرد، یک سیستم خطی نامتغیر با زمان¹³ در نظر گرفته شده است. معادلات حالت سیستم فیزیکی در رابطه (1) آورده شده است:

که در آن ، بردار متغیرهای حالت است ، و و به ترتیب ورودی و خروجی سیستم هستند. ماتریس ژاکوبین سیستم (با ابعاد )، ماتریس ورودی و ماتریس خروجی سیستم است. متداول‌ترین کنترل‌کننده‌ مورد استفاده برای یک سیستم خطی در حوزه زمان، کنترل‌کننده فیدبک حالت خطی است که معادله ریاضی آن در رابطه (2) آورده شده است.

(1)

که در آن ، بردار بهره فیدبک حالت است. بردار بهره فیدبک حالت به نحوی طراحی می شود که سیستم کنترلی حلقه بسته پایدار باشد. با چنین ورودی ای کنترلی ای، سیستم حلقه بسته بصورت زیر در خواهد آمد.

(2)

که در آن را میتوان ماتریس حلقه بسته دانست که برای پایداری سیستم باید مقادیر ویژه منفی داشته باشد. در صورتی که هدف رسیدن به یک وضعیت مرجع (بجای وضعیت صفر برای ) باشد، میتوان با یک تغییر متغیر از روابط مشابه استفاده کرد. در این حالت میتوان سیستمی فرضی دوگانی را با معادله زیر در نظر گرفت:

(3)

که در آن بردار همان مقدار مرجع مطلوب (ثابت) برای سیستم است. میتوان به سادگی نشان داد که این سیستم معادل سیستم رابطه (2) است و در صورت کنترل پذیری و پایداری، تنها بجای (بردار) صفر در نهایت قرار می گیرد.

3_2 مدل سوییچنیگ پیشنهادی برای عملکرد سیستم حلقه بسته تحت شبکه با احتمال از دست رفتن داده

(4)

شکل 1. بلوک دیاگرام سیستم کنترل شده تحت شبکه با احتمال از دست رفتن داده در بستر شبکه

همانطور که پیش‌تر بیان شد، در شبکه ارتباطی احتمال از دست رفتن داده وجود دارد که در این مطالعه مطابق فرض، تاثیر این رخداد وقتی بر روی مسیر پیشرو اتفاق می افتد بررسی می‌شود. در اینصورت بسته‌های داده ارسالی از کنترل‌کننده در صورت از دست نرفتن داده به عنوان ورودی به سیستم فیزیکی انتقال می‌یابند. هر بسته داده ارسالی از کنترل‌کننده با یک احتمال مشخص امکان رسیدن به سیستم فیزیکی را دارد. از اینرو، سیستم فیزیکی حلقه بسته در وضعیت تصادفی سوییچ بین دو وضعیت دریافت بسته داده ورودی درست (و در زمان درست) و یا عدم دریافت بسته داده ورودی قرار می‌گیرد. مدل دریافت داده‌های ارسالی از کنترل‌کننده در ورودی سیستم فیزیکی از مدل سوییچنگ پیشنهادی در شکل 2 پیروی خواهد کرد. این شکل، یک سیستم سوییچینگ تصادفی با دو وضعیت کاری را نشان میدهد که در آن وضعیت 1 نشان دهنده رسیدن بسته داده کنترلی به سیستم فیزیکی است و وضعیت 2 نمایانگر عدم رسیدن بسته داده است که در آن ارتباط بین کنترل‌کننده و سیستم فیزیکی قطع شده است. برای مدل مارکوف پیشنهادی، ماتریس احتمال انتقال

، به صورت رابطه (5) در نظر گرفته می‌شود:

که در آن احتمال انتقال از وضعیت 1 به وضعیت 2 است و ، احتمال باقی ماندن در وضعیت 1 است. بطور مشابه، احتمال انتقال از وضعیت 2 به وضعیت 1 است و ، احتمال باقی ماندن در وضعیت 2 است. در این مطالعه، احتمال از دست رفتن بسته داده‌ای بصورت تصادفی با توزیع پواسون در نظر گرفته شده است. از اینرو، سیگنال سوییچینگ در مدل پیشنهادی بصورت تصادفی با توزیع پواسون تحت فرایند مارکوف تولید میشود. توزیع پواسون برای رویدادهای مستقل و با نرخ متوسط ثابت مناسب می‌باشد. در این مقاله توزیع پواسون برای احتمال از دست رفتن بسته‌ها در شبکه درنظر گرفته شده است که در اغلب مطالعات حوزه شبکه نیز چنین فرضی معمول است.

3-3 پایداری سیستم کنترل‌شده تحت شبکه و ارتباط آن با پایداری سیستم‌های سوئیچینگ

معمولا سیستم حلقه بسته تحت شبکه، در مواجهه با رویداد از دست‌رفتن بسته داده کنترلی (بصورت تصادفی) در ورودی سیستم فیزیکی، یک سیاست پیش فرض را در پی می گیرد. برای مثال سیستم فیزیکی از مقدار پیش فرض صفر )یا هر عدد دیگری مانند آخرین مقدار( به عنوان ورودی استفاده می کند، که با توجه به اینکه این مقدار پیش فرض از واحد کنترل‌کننده دریافت نشده است، هیچ تضمینی براینکه قادر به پایدارسازی سیستم فیزیکی باشد، وجود ندارد. از اینرو، در این شرایط وضعیت پایداری سیستم فیزیکی نامشخص می‌باشد. در این حالت، سیستم فیزیکی بین وضعیت کنترلی حلقه بسته و وضعیت عدم دریافت بسته از واحد کنترل‌کننده سوییچ خواهد کرد. با این رویکرد، پایداری سیستم در حوزه زمان پیوسته و زمان گسسته بررسی خواهد شد.

برای بررسی پایداری سیستم، معادله فضای حالت سیستم حلقه بسته زمان پیوسته رابطه (3) بصورت زیر بازنویسی می‌شود:

(5)

چنانچه سیستم در وضعیت 1 از مدل پیشنهادی شکل 2 باشد و زمان پیوسته در نظر گرفته شود، بصورت خواهد بود.

اگر سیستم در وضعیت 2 مدل پیشنهادی قرار گیرد، ورودی سیستم، مقدار پیش فرض خواهد بود. در این حالت میتوان را برابر با بصورت زمان پیوسته در نظر گرفت. برخی ورودی های پیش فرض منجر به متغیر با زمان می شوند. ولی در برخی دیگر این مقدار ثابت و نامتغیر با زمان است.

این رویکرد مدلسازی سیستم را برای سیستم با معادله حالت زمان گسسته نیز می توان انجام داد که در رابطه (7) آورده شده است. در این رابطه، یا بصورت برای وضعیت دریافت ورودی از کنترل‌کننده و یا برای وضعیت عدم دریافت ورودی در حین حمله خواهد بود.

(6)

با توجه به موارد ذکر شده، در مدل پیشنهادی، سیستم کنترل‌شده تحت شبکه با احتمال از دست رفتن داده، بصورت یک سیستم سوییچینگ در نظر گرفته می شود که پایداری آن در حوزه زمان پیوسته و در حوزه زمان گسسته برای برخی سیاستهای موثر برای ورودی پیش فرض، در بخش چهارم مقاله بررسی خواهد شد. در سیستم‌های سوییچینگ، زمان اقامت در هر وضعیت (یا زیر سیستم) متشکل از دو بخش زمان ‏حداقلی اقامت (حداقل زمان اقامت در هر وضعیت) و زمان تصادفی اقامت (معادل با زمان اقامت در سیستم پرش مارکوف می‌باشد که در بخش 4-1 توضیح داده خواهد شد) است. از آنجایی‌ که سیستم سوییچینگ را می‌توان بصورت یک سیستم پرش مارکوف (پرش وضعیت در لحظه‌های سوییچ) درنظر گرفت، در ادامه این مقاله، مسئله پایداری با استفاده از تئوری پایداری لیاپانوف در سیستم‌های سوییچینگ مورد بررسی قرار می‌گیرد.

4. تحلیل پایداری سیستم کنترل‌شده تحت شبکه‌ با احتمال از دست رفتن داده

در این بخش، تحلیل پایداری سیستم کنترل‌شده تحت شبکه در حین از دست رفتن داده (در مسیر پیشرو) ارائه شده است. همانطور که در بخش قبل توضیح داده شد، سیستم فیزیکی در برخورد با عدم دریافت بسته ارسالی در ورودی از واحد کنترل‌کننده، از یک بسته داده با مقدار صفر یا هر مقدار دیگری به عنوان ورودی استفاده می‌کند. در چنین شرایطی، بررسی پایداری سیستم در حوزه زمان پیوسته و زمان گسسته حائز اهمیت است که در این بخش از مقاله به آن پرداخته می‌شود.

4_1 تحلیل پایداری در حوزه زمان پیوسته

همانطور که پیشتر توضیح داده شد، سیستم فیزیکی در مواجهه با عدم دریافت بسته داده ارسالی از واحد کنترل‌کننده، از داده ورودی پیش فرض استفاده می‌کند و در آن لحظه وضعیت پایداری سیستم نامشخص می‌باشد. چنانچه سیستم در وضعیت 1 از مدل پیشنهادی شکل 2 باشد، ماتریس سیستم بصورت است. اگر سیستم در وضعیت 2 مدل پیشنهادی قرار گیرد، برابر با می‌باشد. از اینرو، معادله فضای حالت سیستم سوییچینگ پیشنهادی که در برگیرنده هر دو وضعیت باشد در رابطه (6) آورده شده است. در این سیستم، سیگنال سوییچینگ ( مجموعه مدهای کاری سیستم است) بوده که با توجه به آن مشخص می‌شود سیستم در کدامیک از دو وضعیت کاری است. چنانچه سیستم در زمان وضعیت کاری خود (یعنی ) را به یکی از دو وضعیت ( ) تغییر دهد و سوییچ بعدی در زمان رخ دهد، زمان اقامت در هر وضعیت (زیر سیستم) بصورت رابطه (8) می‌باشد:

(7)

که در آن زمان ‏ثابت اقامت در هر وضعیت (زیر سیستم) است و . در این رابطه، زمان اقامت در هر وضعیت مشتمل بر زمانهای ثابت و تصادفی اقامت است. در بازه زمان ثابت توقف ، سوییچ کردن مجاز نیست و یا رخ نمی دهد. بنابراین، احتمال اینکه سوییچی از وضعیت کاری به () صورت پذیرد ، برابر با صفر است. در این بازه زمانی، احتمال انتقال وضعیت مارکوف به صورت زیر است:

(8)

که در آن است. برای بازه زمانی تصادفی اقامت ، احتمال انتقال وضعیت مارکوف به صورت زیر است:

(9)

(10)

شکل 2. مدل سوییچینگ پیشنهادی برای حمله محرومیت از سرویس با دو وضعیت کاری

که در آن

احتمال انتقال مارکوف (

) از وضعیت

ام به وضعیت

ام در این بازه زمانی است که منجر به تغییر

از مقدار

به مقدار

می شود، و با احتمال

تغییری در وضعیت کاری سیستم و سیگنال

رخ نخواهد داد. در رابطه (10)،

است و

جملات با درجات بالاتر¹⁴ از

می‌باشد که بدلیل کوچک بودن مقدار عددی آن قابل صرفنظر کردن است [19]. در حالت کلی

تعداد وضعیت/حالت های مارکوف است.

از متدوال‌ترین روشها در تحلیل پایداری سیستمهای تصادفی، بررسی میانگین مربعات است بدین معنی که برای پایداری، لازم است که میانگین حالت سیستم محدود باشد.

تعریف-1: اگر بردار متغیر حالت سیستم باشد. سیستم پایدار تصادفی است اگر

برای هر حالت اولیه سیستم و هر وضعیت اولیه . در ادامه برای بررسی پایداری سیستم سوییچینگ ارائه شده در رابطه (6)، ابتدا نشان داده میشود که پایداری تصادفی سیستم معادل با پایداری تصادفی یک سیستم پرش مارکوف است و سپس پایداری سیستم پرش مارکوف با استفاده از تئوری پایداری لیاپانوف مورد بررسی قرار می‌گیرد تا شرایط لازم و کافی پایداری این سیستم تحت شرایط خاصی معرفی شود.

4_1_1 پایداری تصادفی سیستم سوییچینگ پیشنهادی زمان پیوسته

برای تحلیل پایداری یک سیستم سوئیچینگ در حالت زمان پیوسته، از نتیجه مرجع [19] استفاده می شود. بردارهای حالت سیستم سوییچینگ تصادفی زمان پیوسته با پرشهای مارکوف بصورت زیر است:

(11)

که در آن بردار متغیر حالت سیستم است. ها، زمانهای لحظهای برای هستند که سیستم وضعیت کاری خود را تغییر میدهد. زمان ماقبل از است. یک فرآیند مارکوف است مشتمل بر وضعیت کاری و دارای یک ماتریس احتمال گذار است. ذکر این نکته ضروری است که تحلیل پایداری برای حالتی که ماتریس های متغیر با زمان باشند ساده نبوده و مرجع [19] نیز تنها موفق به تحلیل شرایط پایداری برای سوئیچ بین حالات با ثابت شده است.

حال سیستم سوییچینگ پیشنهادی در رابطه (6) را درنظر بگیرید. فرض می‌شود که سیستم در زمان به حالت از بین وضعیتها سوییچ میکند و متغیر حالت سیستم، در زمان از به در زمان تغییر میکند. میتوان این فاصلۀ که در آن سیستم مجاز به تغییر وضعیت و سوییچ نیست را معادل با یک نقطه زمانی تعبیر نمود، بدین معنی که سیستم یک پرش حالت از حالت اولیه به حالت نهایی در زمان دارد، به این صورت که . در این سیستم، یک فرآیند مارکوف است و دارای ماتریس احتمال گذار/ انتقال معرفی شده در رابطه (9) و (10) است.

با توجه روابط معرفی شده و توضیحات ارائه شده، سیستم سوییچینگ رابطه (6) معادل و هم ارز سیستم پرش مارکوف رابطه (12) می‌باشد. از اینرو، می توان از اثبات پایداری ارائه شده در قضیه 1 مقاله [19] برای پایداری سیستم پرش مارکوف استفاده نمود و شرایط پایداری تصادفی سیستم سوییچینگ پیشنهادی در رابطه (6) را پیدا نمود. قضیه پایداری برای سیستم سوییچینگ پیشنهادی در رابطه (6) و شرایط لازم و کافی برای آن با توجه نتایج مرجع [19] اینگونه ارائه می‌شود:

قضیه -1: سیستم سوییچینگ پیشنهادی معرفی شده در رابطه (6) و با تعریف تابع لیاپانوف زیر،

(12)

پایدار تصادفی است اگر و فقط اگر ماتریسهای () که در آن مجموعهای از ماتریسهای معین مثبت متقارن حقیقی است، وجود داشته باشند به نحوی که برای شرط آورده شده در رابطه (14) قابل برآورده کردن باشد. توجه داشته باشید که (که در آن فرآیند مارکوف است که مقادیر را میگیرد و با ماتریس انتقال حالت معرفی شده در رابطه (10) بیان می شود).

(13)

این شرط لازم و کافی پایداری لیاپانوف برای سیستم سوییچینگ پیشنهادی زمان پیوسته می‌باشد.

بطور خاص، برای سیستم سوییچینگ زمان پیوسته با دو وضعیت کاری ( معادل دو زیر سیستم شکل 2)، شروط پایداری لیاپانوف بصورت زیر خواهد بود:

(14)

چنانچه بتوان و مثبت معینی یافت که شروط (15) را برآورده کنند، سیستم سوئیچیگ پایدار و در غیر اینصورت، ناپایدار خواهد بود. حل این نامعادلات، از الگوریتمهای حل ماتریسی خطی قابل حصول است که نمونه آن در بخش شبیه‌سازی برای سیستم مورد مطالعه آورده شده است.

4_2 تحلیل پایداری در حوزه زمان گسسته

در این زیر بخش، تحلیل پایداری مدل سوئیچینگ پیشنهادی در حوزه زمان گسسته آورده شده است. ‌معادله فضای حالت سیستم سوییچینگ پیشنهادی که در برگیرنده هر دو وضعیت باشد در رابطه (7) آورده شده است. در حوزه زمان گسسته همانند حوزه زمان پیوسته، سیگنال سوییچینگ می باشد. مجموعه مودهای کاری سیستم است. چنانچه سیستم در زمان وضعیت کاری خود (یعنی ) را به یکی از دو وضعیت ( ) تغییر دهد و سوییچ بعدی در زمان رخ دهد، زمان اقامت در هر وضعیت (زیر سیستم) بصورت رابطه (16) می‌باشد:

(15)

که در آن زمان ‏ثابت اقامت در هر وضعیت (زیر سیستم) است و . در این رابطه، زمان اقامت در هر وضعیت مشتمل بر زمانهای ثابت و تصادفی اقامت است. در بازه زمان ثابت توقف ، سوییچ کردن مجاز نیست و رخ نمی دهد. بنابراین، احتمال اینکه سوییچی در این بازه از وضعیت کاری به () صورت پذیرد، برابر با صفر است. در این بازه زمانی، احتمال انتقال وضعیت مارکوف به صورت زیر است:

(16)

برای بازه زمانی تصادفی اقامت ، احتمال گذار/انتقال وضعیت مارکوف به صورت زیر است:

(17)

و می‌دانیم که احتمال گذار مارکوف غیرمنفی است (). چنانچه سوییچ بعدی در رخ دهد، زمان اقامت تصادفی در وضعیت کاری بصورت زیر تعریف می‌شود:

(18)

تعریف پایداری تصادفی برای سیستم سوییچینگ پیشنهادی زمان گسسته در رابطه (7) و شرایط لازم و کافی برای آن (که مشابه آنچه در بخش قبل برای سیستم سوییچینگ زمان پیوسته توضیح داده شد) در مرجع [46] ارائه شده است.

تعریف-2: اگر مسیر متغیر حالت سیستم سوییچینگ زمان گسسته باشد، سیستم پایدار تصادفی است اگر

(19)

برای هر حالت اولیه سیستم و هر وضعیت اولیه .

4_2_1 پایداری تصادفی سیستم سوییچینگ پیشنهادی زمان گسسته

فرض کنید که سیستم سوئیچینگ در لحظه به حالت/وضعیت (یا همان ) سوئیچ می کند و سپس تا رسیدن به لحظه سوئیچ بعدی، مجموعاً واحد زمانی در این وضعیت باقی می ماند. مانند گذشته فرض می کنیم این بازه زمانی از دو بخش ثابت حداقلی و سپس تصادفی (با توزیع هندسی تابع احتمال گذار مدل مارکوف) ساخته شده است. در اینصورت، اگر را یک تابع بردار حالت کمکی برای نمایش وضعیت سیستم در نظر بگیریم، پس از گذشت واحد زمانی، میتوانیم وضعیت سیستم را عملا در ابتدای چنین بنویسیم:

(20)

برای تحلیل پایداری چنین سیستمی، از یک فضای زمان انتزاعی استفاده می کنند [45]، بدین معنی که رابطه (21) را می توان به شکل زیر نوشت:

(21)

که در آن عملا اندیس زمانهای سوئیچ است و ماتریس موثر انتقال وضعیت. برای مثال ممکن است و باشد، اما در این حالت فقط یک واحد افزایش یافته است.

سیستم سوییچینگ رابطه (7) می‌تواند بصورت معادل و هم ارز سیستم پرش مارکوف رابطه (22) در نظر گرفته شود. با توجه به اثبات پایداری ارائه شده در مرجع [45] برای پایداری تصادفی سیستم پرش مارکوف، سیستم سوییچینگ پیشنهادی در رابطه (7) نیز می تواند تحت شرایطی پایدار تصادفی باشد. شرایط لازم و کافی برای پایداری تصادفی سیستم سوییچینگ پیشنهادی زمان گسسته در رابطه (7) (که معادل و هم ارز سیستم رابطه (22) است) در قضیه 2 آورده شده است (از ذکر مجدد اثبات که مشابه [45] است صرف نظر می شود).

قضیه -2: سیستم سوییچینگ پیشنهادی معرفی شده در رابطه (7) و با تعریف تابع لیاپانوف زیر،

(22)

که در آن است، پایدار تصادفی است اگر و فقط اگر ماتریس ( ) که است و مجموعهای از ماتریس معین مثبت متقارن حقیقی است، وجود داشته باشد به نحوی که برای هر شرط رابطه (24) برقرار باشد.


(23)

که در آن ماتریس انتقال حالت ثابت (برای یک واحد زمانی) در وضعیت ام است. بدیهی است که مانند حالت زمان پیوسته، چون در مساله حمله محرومیت از سرویس با توجه به مدل مارکوف ارایه شده در شکل 2 تنها دو وضعیت داریم، می توان شکل ساده‌تری از رابطه فوق را با دو ضابطه نوشت. در ادامه مقاله، قضایای ارائه شده بر روی چند سیستم خطی کنترل شده تحت شبکه با احتمال از دست رفتن داده درمسیر پیشرو به عنوان نمونه شبیه‌سازی می‌شوند و درستی شرایط پایداری معرفی شده در این مقاله مورد بررسی قرار خواهد گرفت.

5. مطالعات موردی، ارزیابی و شبیه سازی

در این بخش از مقاله برای ارزیابی صحت شرایط پایداری لیاپانوف بدست آمده در بخش چهارم، دو مورد از سیستم‌ خطی کنترل شده تحت شبکه در حین حمله محرومیت سرویس جهت بررسی وضعیت‌های مختلف در حوزه زمان پیوسته و زمان گسسته شبیه سازی و ارائه شده است. یافته های دیگری نیز جهت مقاوم سازی سیستم تحت حمله نیز ارایه خواهند شد.

ابتدا، برای بررسی قضایا و یا شرایط پایداری معرفی شده در بخش قبل، یک سیستم ریاضیاتی بصورت زمان پیوسته و زمان گسسته مطالعه و شرایط پایداری آن تحت حمله محرومیت سرویس تحلیل می‌شود. در ادامه، سیستم موتور DC که یکی از کاربردی‌ترین و متداول‌ترین سیستم‌های خطی در کنترل خطی کلاسیک است، مورد مطالعه قرار خواهد گرفت و یک روش برای پایدار نگه داشتن آن تحت حمله پیشنهاد می شود.

5_1 مورد مطالعاتی سیستم زمان پیوسته

در این زیربخش، وضعیت پایداری یک سیستم دینامیکی خطی کنترل‌شده تحت حمله محرومیت سرویس (در مسیر پیشرو) بررسی می‌شود. معادلات فضای حالت این سیستم در رابطه (25) آمده است. این سیستم فی النفسه ناپایدار است زیرا مقادیر ویژه ماتریس دارای بخش حقیقی غیرمنفی (مثبت) می‌باشد.


(24)

اما این سیستم کنترل‌پذیر حالت است و بصورت حلقه بسته و با استفاده از کنترل‌کننده فیدبک حالت خطی، قابل کنترل‌ می‌شود. هدف از کنترل این سیستم، پایدارسازی متغیرهای حالت سیستم می‌باشد. برای دستیابی به این هدف لازم است مقادیر ویژه ماتریس سیستم حلقه بسته دارای بخش حقیقی اکیدا منفی باشد. بنابراین با طراحی کنترل‌کننده فیدبک حالت خطی و اعمال ورودی کنترلی مناسب، هدف پایدارسازی برآورده خواهد شد. در این مطالعه موردی، ورودی کنترلی زیر برای سیستم استفاده خواهد شد.

[1] Networked Control Systems

[2] Internet of Things

[3] Cyber Physical Systems

[4] Uncertainty

[5] Packet Loss

[6] Switching Systems

[7] Hybrid Systems

[8] Markov Jump Linear Systems

[9] Vehicular Ad hoc Network

[10] Probability Density Function (pdf)

[11] Interference

[12] Feedforward

[13] Linear Time Invariant (LTI) System

[14] High Order Terms

(25)

Share To

Article Url

Stability Analysis of Networked Control Systems under Denial of Service Attacks using Switching System Theory