Manuscript ID : A-10-2493-1 Visit : 8525 Page: 43 - 52

Article Type: Original Research

Joint Power Allocation Optimization of cooperative communication systems with Non-Orthogonal Multiple Access

Subject Areas :

Hamid AmiriAra ¹ , mohamadbagher masrur ² , mohamadreza zahabi ^{3
*}

1 - Associate Professor
2 - دانشگاه صنعتی نوشیروانی بابل
3 - Babol Noshirvani University of Technology

Received: 2021-02-01 Accepted : 2020-04-21 Published : 2020-04-21

Keywords: Cooperative communication, Non-orthogonal multiple access, optimization, power allocation. ,

Abstract :

In this paper, a downlink network with two users as transmitter and relay, respectively, and a central station as a receiver is considered. The aim is to determine the optimal coefficient of non-orthogonal signal symbols and the optimal power allocation in the source-relay in order to maximize the average total rate in a cooperative communication system using the non-orthogonal multiple access technique. To achieve these goals, the average total rate of the cooperative communication system with non-orthogonal multiple access with decode and forward relay in the independent Rayleigh channel was calculated. Then, in the first step, the optimization problem of the non-orthogonal symbols coefficient is mathematically expressed for each power allocation and a closed form solution is proposed. In the second step, the power allocation optimization for the source-relay was introduced and solved. Finally, the joint optimization problem of the non-orthogonal symbols coefficient and power allocation is investigated and an algorithm proposed for the joint optimization problem. The proposed algorithm shows that the joint optimization of the non-orthogonal symbols coefficient and power allocation achieve a higher average rate than the separate optimization of each of these parameters. Also, simulations and numerical results are presented to confirm the theoretical equation, where the simulations show the 3 dB gain for the optimized system using the proposed algorithm compared to the non-optimized system.

References:

[1] Amiriara, H. , Zahabi, M. R., & Meghdadi, V. (2018, December). Joint Power and Location Optimization of Relay for Amplify-and-Forward Cooperative Relaying. In 2018 International Conference on Internet of Things, Embedded Systems and Communications (IINTEC) (pp. 97-102). IEEE.
[2] Amiriara, H. , Zahabi, M. R., & Meghdadi, V. (2020). Joint power-location optimization in AF cooperative relay systems with Nakagami-m channel. Physical Communication, 101067.
[3] Seo, J. B., Jin, H., Joung, J., & Jung, B. C. (2020). Uplink NOMA Random Access Systems With Space–Time Line Code. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 69(4), 4522-4526.
[4] Kim, J. B., & Lee, I. H. (2015). Capacity analysis of cooperative relaying systems using non-orthogonal multiple access. IEEE Communications Letters, 19(11), 1949-1952.
[5] Zeng, M., Hao, W., Dobre, O. A., & Ding, Z. (2020). Cooperative NOMA: State of the Art, Key Techniques, and Open Challenges. IEEE Network, 34(5), 205-211.
[6] Do, D. T., & Nguyen, T. T. T. (2018). Exact Outage Performance Analysis of Amplify-and-Forward-Aware Cooperative NOMA. TELKOMNIKA Telecommunication Computing Electronics and Control, 16(5), 1966-1973.
[7] Liu, H., Ding, Z., Kim, K. J., Kwak, K. S., & Poor, H. V. (2018). Decode-and-forward relaying for cooperative NOMA systems with direct links. IEEE Transactions on Wireless Communications, 17(12), 8077-8093.
[8] Wang, Z., & Peng, Z. (2019). Secrecy performance analysis of relay selection in cooperative NOMA systems. IEEE Access, 7, 86274-86287.
[9] Zou, D., Deng, D., Rao, Y., Li, X., & Yu, K. (2019). Relay selection for cooperative NOMA system over correlated fading channel. Physical Communication, 35, 100702.
[10] Ghous, M., Abbas, Z. H., Abbas, G., Hassan, A. K., & Moinuddin, M. (2020). Transmit beamformer based performance analysis and diversity gains of cell edge user in cooperative MISO-NOMA system. Physical Communication, 101102.
[11] Xu, M., Ji, F., Wen, M., & Duan, W. (2016). Novel receiver design for the cooperative relaying system with non-orthogonal multiple access. IEEE Communications Letters, 20(8), 1679-1682.
[12] Kader, M. F., & Shin, S. Y. (2016). Cooperative relaying using space-time block coded non-orthogonal multiple access. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 66(7), 5894-5903.
[13] Jeffrey, A., & Zwillinger, D. (Eds.). (2007). Table of integrals, series, and products. Elsevier.
[14] Chatzigeorgiou, I. (2013). Bounds on the Lambert function and their application to the outage analysis of user cooperation. IEEE Communications Letters, 17(8), 1505-1508.
[15] Gilbert, G. T. (1991). Positive definite matrices and Sylvester's criterion. The American Mathematical Monthly, 98(1), 44-46.

Full-Text:

الگوي تهيه مقالات

دو فصلنامه علمي

فناوري اطلاعات و ارتباطات ایران

سال دوازدهم، شماره‌هاي 45 و 46، پاییز و زمستان 1399

صص: 43-52

$E:\E Drive\logo\iicta Logo0.JPG$

بهینه‌سازی توأم اختصاص توان در یک شبکه‌ مخابرات همکارانه با استفاده از دسترسی چندگانه غیرمتعامد

حمید امیری آرا* محمدباقر مسرور** محمدرضا ذهابی***

* دکتری، دانشکده مهندسي برق و کامپيوتر - دانشگاه صنعتی نوشیروانی بابل

** کارشناسی ارشد، دانشکده مهندسي برق و کامپيوتر - دانشگاه صنعتی نوشیروانی بابل

*** استادیار، دانشکده مهندسي برق و کامپيوتر - دانشگاه صنعتی نوشیروانی بابل

تاریخ دریافت: 13/02/1399 تاریخ پذیرش: 17/09/1399

نوع مقاله: پژوهشی

چكیده

در این مقاله یک شبکه فراسو با دو کاربر به ترتیب در نقش فرستنده و رله، و یک ایستگاه مرکزی به عنوان گیرنده در نظر گرفته شده است. هدف این است که ضریب بهینه سمبل‌های سیگنال‌ غیرمتعامد و اختصاص توان بهینه در منبع-رله به منظور بیشینه کردن متوسط مجموع نرخ در یک سیستم مخابرات همکارانه با استفاده از تکنیک دسترسی چندگانه غیرمتعامد، تعیین شود. برای دستیابی به این اهداف، ابتدا متوسط مجموع نرخ سیستم مخابرات همکارانه با استفاده از دسترسی چندگانه غیرمتعامد با رله کدگشایی و ارسال، در کانال مستقل رایلی محاسبه گردید. سپس در گام اول، مسئله بهینه‌سازی ضریب سمبل‌های سیگنال‌ غیرمتعامد در این سیستم به ازای هر اختصاص توانی به صورت ریاضی بیان شده و رابطه بسته‌ برای حل تقریبی آن پیشنهاد شده است. در گام دوم، مسئله بهینه‌سازی اختصاص توان بهینه ارسالی از منبع-رله، به ازای ضرایب سیگنال‌ مشخص معرفی و حل گردید. در انتها، مسئله بهینه‌سازی توأم ضریب سمبل‌های سیگنال‌ غیرمتعامد و اختصاص توان بررسی می‌شود و الگوریتمی برای بهینه‌سازی توأم این دو پارامتر پیشنهاد شده است. الگوریتم پیشنهادی این مقاله نشان می‌دهد که بهینه‌سازی توأم ضریب سمبل‌های سیگنال‌ غیرمتعامد و اختصاص توان منجر به دستیابی به متوسط نرخ بالاتری نسبت به بهینه‌سازی جداگانه هر یک از این پارامترها می‌شود. همچنین، شبیه‌سازی و نتایج عددی برای تائید روابط تئوری ارائه گردیده است، که شبیه‌سازی‌ها بهره dB 3 را برای سیستم بهینه شده توأم با استفاده از الگوریتم پیشنهادی در مقایسه با سیستم غیر بهینه نشان می‌دهند.

واژگان کلیدی: مخابرات همکارانه، دسترسی چندگانه غیرمتعامد، بهینه‌سازی، اختصاص توان.

1. مقدمه

گوناگونی همکارانه فنّاوری شاخصی در شبکه‌های بیسیم است که می‌تواند با محوشدگی مقابله کند، ناحیه پوشش را گسترش و

نویسنده مسئول: محمد رضا ذهابی zahabi@nit.ac.ir

ظرفیت سیستم را افزایش دهد. راه حل استفاده از گوناگونی بهره‌گیری از سیستم مخابرات همکارانه (CRS) است.

در مراجع ]1[، ]2[ نشان داده شده است که سیستم مخابرات همکارانه با یک رله‌ نیمه‌دوسویه که در آن مقصد دو کپی از یک سیگنال یکسان را در دو فاز مختلف از منبع و رله، دریافت و ترکیب می‌کند، باعث بهبود در کیفیت سیگنال دریافتی می‌شود. با این‌حال، این نوع ارسال همکارانه رله‌ای، راندمان طیفی سیستم را به خاطر انتقال در دو فاز جداگانه محدود می‌کند. مرجع ]3[ یک سیستم دسترسی چندگانه غیرمتعامد¹ (NOMA) فراسو² را پیشنهاد می‌کند، که در آن کاربران بسته‌های خود را با استفاده از کد فضا-زمان ارسال می‌کنند تا در گیرنده بهره‌برداری کامل را از گوناگونی فضایی³ ببرند. در مرجع ]4[ یک سیستم همکارانه با NOMA ارائه شده است که با ارسال چندگانه سیگنال‌ها، بهره‌وری طیفی را بهبود ببخشد. تکنیک NOMA به فرستنده اجازه می‌دهد که چندین سیگنال اطلاعات را به‌طور هم‌زمان به چند گیرنده که در همکاری با هم هستند برساند، بنابراین در مخابرات همکارانه به جهت افزایش کارایی طیف می‌توان توأمان دو سیگنال داده را از منبع ارسال کرد ]5[. در این طرح، اختصاص توان در منبع برای دو سیگنال انجام می‌شود و با کدینگ برهم‌نهی⁴ برای مقصد و رله ارسال می‌شوند. در فاز اول سیگنال با توان بالاتر با توجه به سیگنال به نویز بالایی که دارد در مقصد آشکارسازی می‌شود و در رله ابتدا سیگنال با توان بالا آشکار‌سازی می‌شود و سپس سیگنال با توان پایین با استفاده از حذف تداخل پیاپی⁵ (SIC) آشکارسازی می‌شود. در فاز دوم سیگنال با توان پایین‌تر آشکارسازی شده در رله برای مقصد ارسال می‌شود. بنابراین در دو فاز دو سیگنال از منبع به مقصد ارسال می‌شود.

در مرجع ]6[، یک رابطه بسته برای محاسبه احتمال قطع شبکه NOMA همکارانه تقویت و ارسال⁶ (AF) پیشنهاد شده است. در مرجع ]7[، احتمال قطع و ظرفیت مجموع ارگودیک در یک سیستم NOMA همکارانه با رله رمزگشایی و ارسال⁷ (DF) اندازه‌گیری شد. در مراجع ]8[ و ]9[ یک استراتژی انتخاب رله برای بررسی عملکرد احتمال قطع و مرتبه چندگانگی سیستم همکارانه NOMA پیشنهاد شده است. در این روش کاربر دومی را با شرایط بهتر کانال به عنوان یک رله همکار DF برای انتقال اطلاعات با روش NOMA انتخاب می‌کنند. در مرجع [10]، مفهوم NOMA همکارانه در مخابرات سلولی با کمک کاربر برای تقویت قابلیت اطمینان ارتباطات در لبه سلول ارائه شده است. در مرجع ]11[ نویسندگان، گیرنده استفاده شده در مرجع ]4[ را بهبود بخشیدند. در این مدل سیستم گیرنده می‌تواند به‌طور توأمان هر دو سمبل ارسالی از مبدأ را به وسیله‌ ترکیب‌کننده بیشینه نرخ⁸ (MRC) و SIC کدگشایی کند. این طرح نسبت به طرح مطرح شده در مرجع ]4[ دارای ظرفیت ارگودیک بهتر و احتمال قطع⁹ پایین‌تری است. در مرجع ]12[ نویسندگان با ترکیب NOMA و کدهای فضا-زمان الموتی به نتایج قابل توجهی دست پیدا کردند. در این طرح برخلاف طرح‌های قبلی از چند آنتن در فرستنده و رله استفاده شده است، و نویسندگان توانستند رابطه‌ بسته برای مجموع ظرفیت ارگودیک و احتمال قطع بدست آورند. شبیه‌سازی‌ها نشان می‌دهد که این طرح در سیگنال به نویز متوسط و بالا، به نتایج بهتری نسبت به آنچه که در مراجع ]4[ و ]11[ انجام شده است کسب کرده است.

با توجه به دانش نویسندگان، هیچ مرجع قبلی تاکنون به بهینه‌سازی توأم ضرایب سمبل‌های سیگنال‌ متعامد و اختصاص توان به منبع-رله در سیستم‌های همکارانه با استفاده از NOMA با هدف بیشینه‌سازی مجموع نرخ قابل دستیابی نپرداخته است. در مقاله‌ حاضر، علاوه بر بهینه‌سازی ضرایب سمبل‌های سیگنال‌ متعامد در تکنیک NOMA، بهینه‌سازی اختصاص توان برای منبع-رله در سیستم همکارانه نیز انجام گرفته است. با کمک روابط بسته بدست آمده در این مقاله، این امکان فراهم شده تا بهینه‌سازی توأم در سیستم همکارانه با استفاده از NOMA صورت گیرد که این باعث بهبود متوسط مجموع نرخ¹⁰ (ASR) سیستم نسبت به کارهای گذشته شده است.

در ادامه مقاله به‌صورت زیر سازماندهی شده است:

· بخش دوم مدل سیستم را معرفی می‌کند.

· در بخش سوم، متوسط مجموع نرخ برای شبکه مخابرات همکارانه با استفاده از NOMA در حالت فراسو، در کانال رایلی محاسبه گردید.

· در بخش چهارم، به بهینه‌‌سازی توام ضریب سمبل‌های سیگنال متعامد و اختصاص توان منبع-رله برای رسیدن به حداکثر مجموع نرخ پرداخته شده است.

· نتایج و بررسی آن‌ها در بخش پنجم قرار داده شده است.

2. مدل سیستم

یک سیستم رله همکارانه فراسو¹¹ (U-CRS) مطابق شکل (1) شامل یک کاربر به عنوان منبع ()، کاربری دیگر در نقش رله نیمه‌ دو‌سویه ()، و یک ایستگاه پایه به عنوان مقصد () را در نظر بگیرید.

در این مقاله فرض شده تمام مسیرها (منبع-رله، منبع-مقصد و رله- مقصد) قابل دسترسی باشند. ضرایب کانال در مسیرهای

به ترتیب با

نام‌گذاری و این ضرایب، متغیرهای تصادفی رایلی با واریانس

در نظر گرفته می‌شوند. همچنین به خاطر تأثیرات تلفات مسیر و

شکل 1. مدل سیستم مخابرات همکارانه پایه در حالت فراسو شامل یک کاربر منبع (S)، یک کاربر به عنوان رله (R) و ایستگاه پایه به عنوان مقصد (D)

سایه‌افکنی که مسیر

را ضعیف‌تر از مسیر

می‌کند، شرایط

برقرار است.

توان کل ارسال را با نمایش می‌دهیم و توان منبع و رله به ترتیب با و قابل بیان است که در آن ضریب اختصاص توان منبع و رله است. در CRS با استفاده از NOMA، منبع
را با توجه به استاندارد NOMA در حین بازه زمانی اول، برای رله و مقصد ارسال می‌کند. که در آن ، امین سمبل اطلاعات، و ضریب اختصاص توان برای سمبل‌ها می‌باشد. توجه داشته باشید که مطابق فرضیات NOMA شرایط و برقرار است.

سیگنال دریافتی در رله و مقصد در بازه زمانی اول عبارت است از:

و به عنوان نویز سفید اضافه‌شونده گوسی با واریانس و مستقل فرض می‌شود. رله سمبل را با در نظر گرفتن به عنوان نویز، کدگشایی، سپس آن را کنار می‌گذارد تا سمبل را از رابطه (1) کدگشایی کند، این عمل SIC نام دارد. بنابراین سیگنال به نویز دریافتی برای سمبل و در رله به ترتیب برابر با

(1)
(2)

می‌شود، که علامت در رابطه (3) بر این نکته اشاره می‌کند که آشکارسازی در رله با وجود تداخل ناشی از می‌باشد. همچنین با فرض اینکه عمل SIC سمبل را به‌طور کامل و بدون خطا حذف کرده، رابطه (4) محقق می‌شود. در سمت دیگر، مقصد را به عنوان نویز شناخته تا سمبل را از رابطه (2) بدست آورد. پس سیگنال به نویز دریافتی برای سمبل در سمت مقصد را می‌توان به صورت

(3)
(4)

(5)

بیان کرد. در فاز زمانی دوم، رله سمبل کدگشایی شده را با توان برای مقصد ارسال می‌کند. فرض بر این است که رله به درستی سمبل را کدگشایی می‌کند، سیگنال دریافتی در مقصد در فاز زمانی دوم به صورت

(6)

بیان می‌شود، که در آن نویز سفید گوسی اضافه‌شونده با واریانس است. سیگنال به نویز دریافتی برای سمبل در رابطه (6) برابر با

(7)

می‌شود. در نتیجه در مخابرات همکارانه با NOMA، مقصد می‌تواند دو سمبل و را در دو بازه‌ زمانی دریافت کند، بر خلاف مخابرات همکارانه معمول که در آن گیرنده در دو بازه زمانی تنها یک سیگنال داده را دریافت می‌کند.

3. محاسبه متوسط مجموع نرخ

عبارات ، ، ، و را در نظر بگیریدکه سیگنال به نویز ارسالی می‌باشد. توجه شود که سیگنال به نویز ارسالی در منبع و سیگنال به نویز ارسالی در رله می‌باشد. همچنین واریانس ضرایب کانال نیز بصورت ، و
بیان می‌شود. از انجایی که سمبل باید هم در مقصد و هم با روش SIC در رله کدگشایی شود، نرخ قابل دستیابی برای سمبل از طریق روابط‌ (3) و (5) به صورت

(8)

قابل محاسبه است. باید به این نکته توجه شود که خط دوم رابطه (8) بر اساس افزایشی بودن و نوشته شده است. همچنین در مرحله آخر از استفاده شده است. بر این اساس که نرخ نقطه به نقطه رله‌ کدگشایی و ارسال بر مبنای ضعیف‌ترین مسیر استوار است و با استفاده از روابط (4) و (7) نرخ قابل دستیابی برای سمبل برابر

(9)

می‌شود. از روابط‌ (8) و (9)، مجموع نرخ قابل دستیابی CRS با استفاده از NOMA بدست می‌آید:

در ادامه برای سهولت نگارش را با نشان می‌دهیم. با تعریف
، و استفاده از تابع چگالی احتمال برای ، تابع توزیع تجمعی و به ترتیب و می‌شود. با مشتق‌گیری از و ، تابع چگالی احتمال و به‌ ترتیب می‌شود:

(10)

با استفاده از روابط (10)، (11) و (12) متوسط مجموع نرخ به صورت

(11)
(12)

قابل محاسبه است. با استفاده از رابطه حل انتگرال رابطه (13) به صورت

(13)

قابل بیان است، که در آن نشان‌دهنده‌ تابع انتگرال نمایی است. با استفاده از تقریب‌های برای کوچک و ]مرجع 13 معادله (8.212.1)[، که نشان دهنده ثابت اویلر است، و با در نظر گرفتن و
یک عبارت مجانبی برای رابطه (14) بدین‌گونه بدست می‌آید:

(14)

همانطور که مشاهده می‌شود بر خلاف رابطه دقیق متوسط مجموع نرخ (رابطه (14)) که بصورت انتگرالی است، حد بالای بدست آمده در رابطه (15) تابع ساده‌ای از ضریب سمبل‌های سیگنال نامتعامد () و توان اختصاص یافته به منبع-رله ()‌ است. همچنین از کران بالا برای متوسط مجموع نرخ بدست آمده ملاحظه می‌شود که بر خلاف سیستم‌های متعامد حتی در سیگنال به نویز بی‌نهایت، متوسط مجموع نرخ سیستم NOMA مقدار محدودی به دست می‌آید که این ناشی از وجود تداخل سمبل‌های سیگنال نامتعامد می‌باشد. در ادامه مقاله از روابط (14) و (15) برای ارزیابی عملکرد متوسط مجموع نرخ سیستم به صورت دقیق و مجانبی استفاده می‌شود.

4. محاسبه ضرایب اختصاص توان بهینه

در این بخش، تعین ضریب سمبل‌های سیگنال نامتعامد و اختصاص توان بهینه منبع-رله سیستم همکارانه با هدف بیشینه نمودن متوسط مجموع نرخ بیت برای ساختار شبکه همکارانه با استفاده از NOMA مد نظر می‌باشد. ابتدا، در زیر بخش اول، رابطه بسته برای بهینه‌سازی اختصاص توان منبع-رله به ازای هر ضریب سمبل‌های‌ سیگنال متعامد، به جهت بهینه‌سازی سیستم همکارانه شروع می‌شود. در زیر بخش دوم، ضریب سمبل‌های‌ سیگنال متعامد به ازای هر اختصاص توانی از منبع-رله بهینه می‌گردد، تا عملکرد تکنیک NOMA بیشینه گردد. در انتها بهینه‌سازی توأم ضریب سمبل‌های‌ سیگنال متعامد و توان منبع-رله به صورت ریاضی بیان شده و یک الگوریتم برای تعیین جواب بهینه مسئله بهینه‌سازی توأم پیشنهاد می‌شود.

1-1 بهینه‌سازی اختصاص توان منبع-رله

در این بخش هدف بهینه‌سازی اختصاص توان منبع-رله در شبکه‌های مخابرات همکارانه که بصورت

(15)

قابل تعریف است، آن‌که در آن نشان دهنده توان کل انتقال یا به عبارت دیگر حداکثر توانی که یک بسته مجاز است در سراسر انتقال از منبع به مقصد مصرف کند، می‌باشد. بدین منظور با کمک نسبت توان () و جایگذاری توان منبع و توان رله در رابطه (15)، تابع هدف مسئله به‌‌صورت

(16)

قابل بازنویسی است. برای حل مسئله بهینه‌سازی اختصاص توان می‌توان از کلیه عبارات ثابت نسبت به متغیرهای در رابطه (16) صرف‌نظر نمود و حل مسئله بهینه‌سازی معادل با برابر صفر قرار دادن مشتق رابطه (16) می‌گردد:

برای اثبات مقعر بودن رابطه (17) از آن یک‌بار دیگر نسبت به مشتق گرفته و مشاهده می‌شود:

(17)

رابطه (18) باید همواره کوچک‌تر از صفر باشد، از آنجا که ، و همواره اعدادی مثبت و همچنین و اعدادی بین صفر و یک هستند همواره برقرار است. در نتیجه مقدار بهینه ضریب اختصاص توان منبع-رله را می‌توان با حل معادله رابطه‌‌‌‌ (17) به صورت

(18)

بدست آورد. رابطه (19) مقدار بهینه ضریب اختصاص توان منبع-رله ‌ برحسب ضریب اختصاص توان سمبل‌های سیگنال‌ متعامد را ارائه می‌دهد. با استفاده از این نسبت بهینه توان ، توان بهینه منبع و رله به ترتیب از روابط

(19)

قابل محاسبه است. حال که ضریب اختصاص توان منبع-رله به جهت بهبود عملکرد سیستم همکارانه محاسبه گردید، در ادامه به دنبال بهینه‌سازی ضریب سمبل‌های سیگنال‌ متعامد به جهت بهبود عملکرد تکنیک NOMA برای دستیابی به متوسط نرخ حداکثری هستیم.

1-2 بهینه‌سازی ضریب سمبل‌های‌ سیگنال متعامد

ضریب اختصاص توان سمبل‌های‌ سیگنال متعامد تأثیر بسیاری بر عملکرد تکنیک دسترسی چندگانه غیرمتعامد دارد و با بهینه‌سازی آن می‌توان متوسط نرخ را بیشینه نمود. این مسئله بهینه‌سازی به صورت

قابل بیان است، مشابه روند بخش قبلی، بدین منظور با تعریف
و با مشتق‌گیری از رابطه (13) نسبت به رابطه‌ زیر بدست می‌آید:

(20)

با استفاده از ]مرجع 13 معادله (3.353.5)[، رابطه (20) را می‌توان به صورت

بازنویسی کرد. سپس با اعمال تقریب‌های
و به ازای های کوچک (که تقریب برای سیگنال به نویز بالا هستند)، و
و برای و های کوچک، رابطه‌ (21) به صورت

(21)

قابل بیان است. با مشتق گرفتن مجدد از رابطه (22) نسبت به داریم:

(22)

اگر نامساوی رابطه (23) برقرار باشد، اثبات می‌شود رابطه (22) نسبت به مقعر است. رابطه (23) در صورتی برقرار است که
باشد، از آنجا عددی بسیار بزرگ می‌باشد، این نامساوی برقرار است و مسئله بهینه‌سازی یک جواب بهینه کلی دارد. با معادل صفر قراردادن رابطه‌ (22) ، مقدار به صورت زیر بدست می‌آید: